Uma água entra num tanque cônico a uma taxa de
. O tanque tem altura de 12 m e o raio da base é de 7 m . A que taxa o nível da água estará subindo quando o nível da água for 9 m ?
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo taxas de variação. Temos um tanque em forma de cone com altura de 12 metros e raio da base de 7 metros. Água está entrando nesse tanque a uma taxa de
. Queremos descobrir a que velocidade o nível da água está subindo quando a altura da água for de 9 metros. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o volume da água no tanque em termos da altura da água. O volume
de um cone é dado pela fórmula:
onde
é o raio da base da água e
é a altura da água.
Passo 3
Como o tanque é um cone, a relação entre o raio e a altura é proporcional. Sabemos que quando a altura total é 12 metros, o raio é 7 metros. Então:
Passo 4
Substituímos
na fórmula do volume:
Passo 5
Agora, diferenciamos o volume com relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
Passo 6
Queremos encontrar
quando
metros e
. Isolando
:
Resposta
A taxa de subida do nível da água quando a altura for 9 metros é
.