Uma água entra num tanque cônico a uma taxa de 11 m^3/min. O tanque tem altura de 12 m e o raio da base é de 7 m . A que taxa o nível da água estará subindo quando o nível da água for 9 m ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo taxas de variação. Temos um tanque em forma de cone com altura de 12 metros e raio da base de 7 metros. Água está entrando nesse tanque a uma taxa de . Queremos descobrir a que velocidade o nível da água está subindo quando a altura da água for de 9 metros. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o volume da água no tanque em termos da altura da água. O volume de um cone é dado pela fórmula:
onde é o raio da base da água e é a altura da água.

Passo 3

Como o tanque é um cone, a relação entre o raio e a altura é proporcional. Sabemos que quando a altura total é 12 metros, o raio é 7 metros. Então:

Passo 4

Substituímos na fórmula do volume:

Passo 5

Agora, diferenciamos o volume com relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:

Passo 6

Queremos encontrar quando metros e . Isolando :

Resposta

A taxa de subida do nível da água quando a altura for 9 metros é .

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