Água entra a uma vazão mássica de 0,01 kg / s e a 10^circ C em um tubo de 0,02 m de diâmetro interno, onde é aquecida a 40^circ C. A parte externa do tubo está envolta por um elemento de aquecimento elétrico isolado que produz um fluxo de calor uniforme de 15 kW / m^2 sobre a superfície. Desprezando os efeitos de entrada, ou seja, considerando que a região de entrada é curta o suficiente a ponto de poder se considerar que todo o escoamento se encontre na região térmica plenamente desenvolvida, determine:
A temperatura da superfície do tubo na saída

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos água entrando num tubo com uma certa vazão mássica e temperatura, sendo aquecida enquanto passa pelo tubo. O tubo está envolto por um elemento de aquecimento que fornece um fluxo de calor uniforme. Queremos descobrir qual é a temperatura da superfície interna do tubo na saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo de calor fornecido pelo elemento de aquecimento. O fluxo de calor ( ) é dado como . Isso significa que cada metro quadrado da superfície do tubo recebe 15 kW de energia térmica.

Passo 3

Vamos calcular a área superficial do tubo por onde o calor está sendo transferido. A fórmula para a área lateral de um cilindro é:
A = pi cdot d cdot L
Onde:
  • é o diâmetro interno do tubo ( )
  • é o comprimento do tubo
Pero não sabemos o comprimento diretamente, mas podemos relacionar a energia transferida com o aumento de temperatura da água.

Passo 4

Vamos calcular a taxa de transferência de calor necessária para aquecer a água de dotQ = dotm cdot cp cdot De a dotQ = 0,01 cdot 4186 cdot 30 = 1255,8 , W . A fórmula para a taxa de calor ( ) é:
Onde:
  • (vazão mássica)
  • (capacidade calorífica da água)
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, sabemos que a taxa de calor fornecida pelo aquecedor deve igualar a taxa de calor absorvida pela água:
dotQ = q'' cdot A
Onde:
  • A = dotQq'' = 1255,815 times 10^3 approx 0,0837 , m^2
Vamos resolver para a área :

Passo 6

Agora que temos a área superficial, podemos relacioná-la com o comprimento do tubo A = pi cdot d cdot L Rightarrow L = Api cdot d = 0,0837pi cdot 0,02 approx 133,3 , m :
Isso indica que o tubo precisaria ter aproximadamente 133,3 metros para transferir a quantidade de calor necessária, o que parece muito longo. Provavelmente, precisamos considerar outra abordagem.

Passo 7

Vamos reconsiderar o problema. O fluxo de calor fornecido é através da parede do tubo para a água. A transferência de calor ocorre por condução através da parede e convecção para a água. Podemos usar a equação de transferência de calor:
q'' = Ts - TfR
Onde:
  • R = ln(r2/r1)2pi k L + 1h cdot 2pi r2 L é a temperatura da superfície interna do tubo
  • é a temperatura da água na saída
  • é a resistência térmica total
A resistência térmica total é a soma da resistência por condução na parede e pela convecção na água:
Mas sem os valores de condutividade térmica e coeficiente de convecção , não podemos prosseguir diretamente. Precisamos simplificar.

Passo 8

Como estamos procurando apenas a temperatura da superfície interna, podemos considerar que todo o calor transferido pela parede é igual ao calor ganho pela água:
q'' = h cdot (Ts - Tf)
Rearranjando para Ts = Tf + q''h :
Nu = h cdot dk
Mas ainda precisamos do coeficiente de convecção . Podemos estimar usando a fórmula de Nusselt para fluxo laminar no tubo:
Sem o valor de , continuamos sem informação. Vamos supor que o valor de é conhecido ou que o tubo é suficientemente fino para considerar uma transferência de calor predominante.

Passo 9

Dado que a questão não fornece mais informações, podemos assumir que a resistência térmica da parede é muito pequena comparada à resistência de convecção. Assim:
q'' approx h cdot (Ts - Tf)
Rearranjando:
Ts = Tf + q''h
Sem o valor de , não podemos calcular numericamente . Portanto, precisamos que a questão forneça ou permita calcular .

Resposta

Não é possível determinar numericamente a temperatura da superfície do tubo na saída com as informações fornecidas. É necessário conhecer o coeficiente de convecção ( ) para calcular .

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