Água escoa a 3,00 m / s em um cano horizontal, sob pressão de 200 kPa . O cano se estreita à metade de seu diâmetro original. (a) Qual é a rapidez do fluxo na seção estreita? (b) Qual é a pressão na seção estreita? © Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos água escoando a uma velocidade de em um cano horizontal sob uma pressão de . O cano então se estreita, reduzindo seu diâmetro à metade do original. Precisamos resolver três partes da questão:
a) Determinar a velocidade do fluxo na seção estreita.
b) Calcular a pressão na seção estreita.
c) Comparar as vazões volumétricas nas duas seções.
Para resolver isso, vamos usar principalmente a equação da continuidade e o princípio de Bernoulli da mecânica dos fluidos.

Passo 2

a) Qual é a rapidez do fluxo na seção estreita?
A equação da continuidade nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluxo é constante ao longo do cano. Matematicamente, isso é representado por:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • A2 = pi (d22)^2 = pi (d1/22)^2 = pi (d14)^2 = pi d1^216 = A14 e A1 v1 = A14 v2 são as áreas das seções original e estreita, respectivamente.
  • v2 = 4 v1 = 4 times 3,00 , m/s = 12,00 , m/s e são as velocidades do fluxo nas respectivas seções.
Dado que o diâmetro na seção estreita é metade do original, ou seja, , a área de um círculo é . Assim:
Portanto, .
Usando a equação da continuidade:
Simplificando:

Passo 3

b) Qual é a pressão na seção estreita?
Aqui, aplicamos o Princípio de Bernoulli, que para um fluxo horizontal (onde a altura não muda) se expressa como:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Onde:
  • P2 = P1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2 e P2 = 200 times 10^3 , Pa + 12 times 1000 , kg/m^3 times (3,00 , m/s)^2 - 12 times 1000 , kg/m^3 times (12,00 , m/s)^2 são as pressões nas seções original e estreita.
  • 12 times 1000 times 9 = 4500 , Pa é a densidade da água ( 12 times 1000 times 144 = 72000 , Pa ).
Rearranjando para encontrar P2 = 200000 + 4500 - 72000 = 200000 + 4500 - 72000 = 132500 , Pa = 132,5 , kPa :
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

c) Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções?
A vazão volumétrica Q = A times v é dada por:
A1 v1 = A2 v2
Da equação da continuidade, já vimos que:
Q1 = Q2
Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nas duas seções:
Ou seja, a vazão volumétrica não se altera quando o cano se estreita; apenas a velocidade do fluxo aumenta.

Resposta

a) A rapidez do fluxo na seção estreita é .
b) A pressão na seção estreita é .
c) As vazões volumétricas nas duas seções são iguais.

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