Água escoa a
em um cano horizontal, sob pressão de 200 kPa . O cano se estreita à metade de seu diâmetro original. (a) Qual é a rapidez do fluxo na seção estreita? (b) Qual é a pressão na seção estreita? © Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos água escoando a uma velocidade de
em um cano horizontal sob uma pressão de
. O cano então se estreita, reduzindo seu diâmetro à metade do original. Precisamos resolver três partes da questão:
a) Determinar a velocidade do fluxo na seção estreita.
b) Calcular a pressão na seção estreita.
c) Comparar as vazões volumétricas nas duas seções.
b) Calcular a pressão na seção estreita.
c) Comparar as vazões volumétricas nas duas seções.
Para resolver isso, vamos usar principalmente a equação da continuidade e o princípio de Bernoulli da mecânica dos fluidos.
Passo 2
a) Qual é a rapidez do fluxo na seção estreita?
A equação da continuidade nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluxo é constante ao longo do cano. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
-
e são as áreas das seções original e estreita, respectivamente. -
e são as velocidades do fluxo nas respectivas seções.
Dado que o diâmetro na seção estreita é metade do original, ou seja,
, a área
de um círculo é
. Assim:
Portanto,
.
Usando a equação da continuidade:
Simplificando:
Passo 3
b) Qual é a pressão na seção estreita?
Aqui, aplicamos o Princípio de Bernoulli, que para um fluxo horizontal (onde a altura não muda) se expressa como:
Onde:
-
e são as pressões nas seções original e estreita. -
é a densidade da água ( ).
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
c) Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções?
A vazão volumétrica
é dada por:
Da equação da continuidade, já vimos que:
Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nas duas seções:
Ou seja, a vazão volumétrica não se altera quando o cano se estreita; apenas a velocidade do fluxo aumenta.
Resposta
a) A rapidez do fluxo na seção estreita é
.
b) A pressão na seção estreita é
.
c) As vazões volumétricas nas duas seções são iguais.
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