Água escoa através de um sistema de tubulação. Na tubulação 1 o fluido escoa com o seguinte perfil de velocidade, , e a tubulação 2 possui . Qual a velocidade média do escoamento na tubulação menor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a água flui por duas tubulações diferentes. A primeira tubulação tem uma velocidade que varia dependendo da posição radial (ou seja, onde a água está dentro da tubulação), e a segunda tubulação é menor com diâmetro conhecido. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade média com que a água está fluindo na tubulação menor. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a entender como a velocidade e a área de fluxo se relacionam quando o fluido passa de um tubo para outro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a velocidade da água na tubulação 1. A velocidade está dada por:
Aqui, é a velocidade em função da posição radial . Para achar a velocidade média na tubulação 1, precisamos calcular a média da velocidade em toda a seção transversal da tubulação. Isso envolve integrar a velocidade em toda a área e dividir pela área total.
Passo 3
Vamos calcular a vazão na tubulação 1. A vazão () é basicamente o volume de água que passa por uma seção do tubo por segundo. Ela pode ser calculada integrando a velocidade sobre a área da seção transversal:
Onde é o raio da tubulação 1. Mas, como não foi dado o diâmetro da tubulação 1, assumiremos que cm (já que sugere que o raio máximo é 4 cm).
Substituindo a expressão de :
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, distribua o 6 e 2π:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Calculando as integrais separadamente:
Então,
Calculando os limites:
Para :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da tubulação 2. O diâmetro ( R2 = D22 = 1,52 = 0,75 cm ) da tubulação 2 é 1,5 cm, então o raio ( A2 = pi R2^2 = pi (0,75)^2 = pi times 0,5625 = 0,5625pi cm^2 ) é metade disso:
A área () da tubulação 2 é dada por:
Passo 5
Agora, aplicamos a equação da continuidade, que diz que a vazão deve ser constante em todo o sistema. Ou seja:
Q = A2 vmédia,2 é
Onde vmédia,2 = QA2 = 72pi0,5625pi = 720,5625 = 128 cm/s é é a velocidade média na tubulação 2 que queremos encontrar. Já conhecemos e , então podemos resolver para é:
é
Resposta
A velocidade média do escoamento na tubulação menor é de 128 cm/s.