Água escoa através de um sistema de tubulação. Na tubulação 1 o fluido escoa com o seguinte perfil de velocidade, v1=6[1-(r^216)^3] cm / s, e a tubulação 2 possui D2=1,5 cm. Qual a velocidade média do escoamento na tubulação menor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a água flui por duas tubulações diferentes. A primeira tubulação tem uma velocidade que varia dependendo da posição radial (ou seja, onde a água está dentro da tubulação), e a segunda tubulação é menor com diâmetro conhecido. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade média com que a água está fluindo na tubulação menor. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a entender como a velocidade e a área de fluxo se relacionam quando o fluido passa de um tubo para outro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a velocidade da água na tubulação 1. A velocidade está dada por:
v1 = 6[1 - (r^216)^3] cm/s
Aqui, é a velocidade em função da posição radial . Para achar a velocidade média na tubulação 1, precisamos calcular a média da velocidade em toda a seção transversal da tubulação. Isso envolve integrar a velocidade em toda a área e dividir pela área total.

Passo 3

Vamos calcular a vazão na tubulação 1. A vazão ( Q = integral0^R v1 cdot 2pi r , dr ) é basicamente o volume de água que passa por uma seção do tubo por segundo. Ela pode ser calculada integrando a velocidade sobre a área da seção transversal:
Q = integral0^4 6[1 - (r^216)^3] cdot 2pi r , dr
Onde Q = 12pi integral0^4 [1 - (r^216)^3] r , dr é o raio da tubulação 1. Mas, como não foi dado o diâmetro da tubulação 1, assumiremos que Q = 12pi integral0^4 (r - r^716^3) , dr cm (já que integral r , dr = r^22 sugere que o raio máximo é 4 cm).
Substituindo a expressão de integral r^7 , dr = r^88 :
Q = 12pi [ r^22|0^4 - 14096 r^88|0^4 ]
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, distribua o 6 e 2π:
4^22 = 162 = 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
4^88 = 655368 = 8192
Calculando as integrais separadamente:
Q = 12pi (8 - 81924096) = 12pi (8 - 2) = 12pi times 6 = 72pi cm^3/s
Então,
Calculando os limites:
Para :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da tubulação 2. O diâmetro ( R2 = D22 = 1,52 = 0,75 cm ) da tubulação 2 é 1,5 cm, então o raio ( A2 = pi R2^2 = pi (0,75)^2 = pi times 0,5625 = 0,5625pi cm^2 ) é metade disso:
A área ( ) da tubulação 2 é dada por:

Passo 5

Agora, aplicamos a equação da continuidade, que diz que a vazão deve ser constante em todo o sistema. Ou seja:
Q = A2 vmédia,2 é
Onde vmédia,2 = QA2 = 72pi0,5625pi = 720,5625 = 128 cm/s é é a velocidade média na tubulação 2 que queremos encontrar. Já conhecemos e , então podemos resolver para é:
é

Resposta

A velocidade média do escoamento na tubulação menor é de 128 cm/s.

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