Um tanque cilíndrico é alimentado pelos dutos A e B, e esvaziado pelos dutos C e D. O duto A fornece uma vazão para encher sozinho o tanque em 4 h , e o duto B em 5 h . Enquanto o duto C fornece uma vazão para esvaziar sozinho o tanque em 3 h , e o duto D em 6 h . Com o nível do tanque pela metade, as quatro válvulas são abertas simultaneamente. Determine se o tanque está enchendo ou esvaziando. E qual o tempo necessário para que o enchimento/esvaziamento ocorra.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo enchido pelos dutos A e B, e esvaziado pelos dutos C e D. O duto A consegue encher o tanque sozinho em 4 horas, o duto B em 5 horas, o duto C esvazia em 3 horas e o duto D em 6 horas. Quando o tanque está pela metade, todos os dutos são abertos ao mesmo tempo. Nosso objetivo é descobrir se o tanque está enchendo ou esvaziando e quanto tempo isso vai levar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as taxas de enchimento e esvaziamento de cada duto. A taxa de enchimento ou esvaziamento é a quantidade de tanque que cada duto consegue encher ou esvaziar por hora.
Para o duto A:
Taxa de A = 14 tanque por hora
Para o duto B:
Taxa de B = 15 tanque por hora
Para o duto C:
Taxa de C = 13 tanque por hora (esvaziando)
Para o duto D:
Taxa de D = 16 tanque por hora (esvaziando)

Passo 3

Agora, vamos somar todas essas taxas para ver o que acontece quando todos os dutos estão abertos juntos. As taxas de enchimento (A e B) vão somar, e as taxas de esvaziamento (C e D) também vão somar, mas como estão esvaziando, elas vão subtrair do total.
Então, a taxa líquida Rliquida = ( 14 + 15 ) - ( 13 + 16 ) será:

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, somamos as taxas de enchimento:
14 + 15 = 520 + 420 = 920
Depois, somamos as taxas de esvaziamento:
13 + 16 = 26 + 16 = 36 = 12
Agora, subtraímos as taxas de esvaziamento das de enchimento:
Rliquida = 920 - 12 = 920 - 1020 = -120 tanque por hora

Passo 5

O resultado é , que é negativo. Isso significa que, ao todo, o tanque está sendo esvaziado, já que a taxa líquida é negativa.

Passo 6

Agora, para descobrir quanto tempo isso vai levar para esvaziar a metade do tanque, usamos a taxa líquida. A metade do tanque é t = QuantidadeTaxa = 12120 = 12 times 20 = 10 horas , e a taxa de esvaziamento é por hora.
O tempo é dado por:

Resposta

O tanque está esvaziando e vai levar 10 horas para que a metade do tanque seja esvaziada.

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