Um tanque cilíndrico é alimentado pelos dutos
e B, e esvaziado pelos dutos
e D. O duto
fornece uma vazão para encher sozinho o tanque em 4 h , e o duto B em 5 h . Enquanto o duto C fornece uma vazão para esvaziar sozinho o tanque em 3 h , e o duto D em 6 h . Com o nível do tanque pela metade, as quatro válvulas são abertas simultaneamente. Determine se o tanque está enchendo ou esvaziando. E qual o tempo necessário para que o enchimento/esvaziamento ocorra.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo enchido pelos dutos A e B, e esvaziado pelos dutos C e D. O duto A consegue encher o tanque sozinho em 4 horas, o duto B em 5 horas, o duto C esvazia em 3 horas e o duto D em 6 horas. Quando o tanque está pela metade, todos os dutos são abertos ao mesmo tempo. Nosso objetivo é descobrir se o tanque está enchendo ou esvaziando e quanto tempo isso vai levar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as taxas de enchimento e esvaziamento de cada duto. A taxa de enchimento ou esvaziamento é a quantidade de tanque que cada duto consegue encher ou esvaziar por hora.
Para o duto A:
Para o duto B:
Para o duto C:
Para o duto D:
Passo 3
Agora, vamos somar todas essas taxas para ver o que acontece quando todos os dutos estão abertos juntos. As taxas de enchimento (A e B) vão somar, e as taxas de esvaziamento (C e D) também vão somar, mas como estão esvaziando, elas vão subtrair do total.
Então, a taxa líquida
será:
Passo 4
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, somamos as taxas de enchimento:
Depois, somamos as taxas de esvaziamento:
Agora, subtraímos as taxas de esvaziamento das de enchimento:
Passo 5
O resultado é
, que é negativo. Isso significa que, ao todo, o tanque está sendo esvaziado, já que a taxa líquida é negativa.
Passo 6
Agora, para descobrir quanto tempo isso vai levar para esvaziar a metade do tanque, usamos a taxa líquida. A metade do tanque é
, e a taxa de esvaziamento é
por hora.
O tempo
é dado por:
Resposta
O tanque está esvaziando e vai levar 10 horas para que a metade do tanque seja esvaziada.