Determine a taxa à qual o nível de água varia em um tanque com 0,5 m de diâmetro. Sabe-se que o tanque está aberto e que água entra através de um tubo de 0,1 m^2 com velocidade de 0,5 m / s e vazão de saída é 0,2 m^3 / s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque com diâmetro de 0,5 m e queremos descobrir a taxa com que o nível da água está mudando, ou seja, dHdt. Para isso, precisamos entender como a água está entrando e saindo do tanque. A água entra através de um tubo com área de 0,1 m^2 e velocidade de 0,5 m/s, e sai com uma vazão de 0,2 m^3/s. Vamos usar conceitos de vazão e áreas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão de entrada da água no tanque. A vazão ( Qentrada) é dada pela área do tubo multiplicada pela velocidade da água que entra:
Qentrada = Aentrada times ventrada
Onde:
  • Aentrada = 0,1 m^2
  • ventrada = 0,5 m/s
Então:

Passo 3

Agora, sabemos que a vazão de saída ( Qsaídaí) é de 0,2 m^3/s. A taxa de variação do volume de água no tanque ( dVdt) é dada pela diferença entre a vazão de entrada e a vazão de saída:
dVdt = Qentrada - Qsaída í
Substituindo os valores:
dVdt = 0,05 m^3/s - 0,2 m^3/s = -0,15 m^3/s
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do nível da água no tanque. O volume ( V) do tanque é dado pela área da base ( Atanque) multiplicada pela altura ( H):
V = Atanque times H
Derivando em relação ao tempo:
dVdt = Atanque times dHdt
Então, podemos isolar dHdt:

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular a área da base do tanque. Como o tanque tem formato circular, a área é dada por:
Atanque = pi times (d2)^2
Onde:
  • d = 0,5 m
Então:
Atanque = pi times (0,52)^2 = pi times (0,25) = 0,7854 m^2

Passo 6

Agora, substituímos dVdt e Atanque na equação para dHdt:
dHdt = -0,15 m^3/s0,7854 m^2 approx -0,191 m/s

Resposta

A taxa com que o nível de água está diminuindo no tanque é aproximadamente -0,191 m/s.

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