Determine a taxa à qual o nível de água varia em um tanque com
de diâmetro. Sabe-se que o tanque está aberto e que água entra através de um tubo de
com velocidade de
e vazão de saída é
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque com diâmetro de
e queremos descobrir a taxa com que o nível da água está mudando, ou seja,
. Para isso, precisamos entender como a água está entrando e saindo do tanque. A água entra através de um tubo com área de
e velocidade de
, e sai com uma vazão de
. Vamos usar conceitos de vazão e áreas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão de entrada da água no tanque. A vazão (
) é dada pela área do tubo multiplicada pela velocidade da água que entra:
Onde:
Então:
Passo 3
Agora, sabemos que a vazão de saída (
) é de
. A taxa de variação do volume de água no tanque (
) é dada pela diferença entre a vazão de entrada e a vazão de saída:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 4
Agora, vamos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do nível da água no tanque. O volume (
) do tanque é dado pela área da base (
) multiplicada pela altura (
):
Derivando em relação ao tempo:
Então, podemos isolar
:
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular a área da base do tanque. Como o tanque tem formato circular, a área é dada por:
Onde:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação para
:
Resposta
A taxa com que o nível de água está diminuindo no tanque é aproximadamente
.