Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,4 kPa. Determine a vazão em volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo de água que passa de 50 mm de diâmetro para 25 mm de diâmetro, e sabemos que nessa contração a pressão diminui 3,4 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto de água está passando por esse tubo por unidade de tempo, ou seja, a vazão em volume. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação de continuidade e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de continuidade, que nos diz que a quantidade de água que entra em uma parte do tubo tem que ser igual à quantidade que sai, já que a água é incompressível. Matematicamente, isso é representado por:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • e são as áreas das seções do tubo antes e depois da contração.
  • e são as velocidades da água nessas seções.

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. A área de um círculo é dada por , onde é o raio.
Para o tubo de 50 mm de diâmetro:
  • Raio mm = 0,025 m
  • Área
Para o tubo de 25 mm de diâmetro:
  • Raio mm = 0,0125 m
  • Área

Passo 4

Com as áreas calculadas, vamos usar a equação de continuidade para relacionar as velocidades:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2 v2 = A1A2 cdot v1 v2 = 0,00196350,0004909 cdot v1 approx 4 cdot v1
Isso significa que a velocidade da água após a contração é aproximadamente 4 vezes a velocidade antes da contração.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão e a velocidade de um fluido em diferentes pontos:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Onde:
  • De e 3400 = 12 cdot 1000 cdot ((4 v1)^2 - v1^2) 3400 = 500 cdot (16 v1^2 - v1^2) 3400 = 500 cdot 15 v1^2 3400 = 7500 v1^2 v1^2 = 34007500 v1^2 approx 0,4533 v1 approx 0,673 , m/s são as pressões antes e depois da contração.
  • é a densidade da água, que é aproximadamente ³.
A diferença de pressão .
Substituindo na equação:
E lembrando que :

Passo 6

Agora que temos Q = A1 cdot v1 Q = 0,0019635 , m² cdot 0,673 , m/s Q approx 0,001321 , m³/s , podemos encontrar a vazão volumétrica Q approx 1,321 , L/s usando a equação de continuidade:
²³
Convertendo para litros por segundo (já que ³):

Resposta

A vazão volumétrica da água é aproximadamente 1,32 litros por segundo.

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