Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é
. Determine a vazão em volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo de água que passa de 50 mm de diâmetro para 25 mm de diâmetro, e sabemos que nessa contração a pressão diminui 3,4 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto de água está passando por esse tubo por unidade de tempo, ou seja, a vazão em volume. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação de continuidade e a equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de continuidade, que nos diz que a quantidade de água que entra em uma parte do tubo tem que ser igual à quantidade que sai, já que a água é incompressível. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
-
e são as áreas das seções do tubo antes e depois da contração. -
e são as velocidades da água nessas seções.
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio.
Para o tubo de 50 mm de diâmetro:
- Raio
mm = 0,025 m - Área
m²
Para o tubo de 25 mm de diâmetro:
- Raio
mm = 0,0125 m - Área
m²
Passo 4
Com as áreas calculadas, vamos usar a equação de continuidade para relacionar as velocidades:
Isso significa que a velocidade da água após a contração é aproximadamente 4 vezes a velocidade antes da contração.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão e a velocidade de um fluido em diferentes pontos:
Onde:
-
e são as pressões antes e depois da contração. -
é a densidade da água, que é aproximadamente .
A diferença de pressão
.
Substituindo na equação:
E lembrando que
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar a vazão volumétrica
usando a equação de continuidade:
Convertendo para litros por segundo (já que
):
Resposta
A vazão volumétrica da água é aproximadamente 1,32 litros por segundo.