Uma piscina pequena é drenada usando uma mangueira de jardim. A mangueira tem 20 mm de diâmetro interno, uma rugosidade absoluta de e 30 m de comprimento. A extremidade livre da mangueira está localizada 3 m abaixo da elevação do fundo da piscina. A velocidade média na descarga da mangueira é . Estime a profundidade da água na piscina. Se o escoamento fosse invíscido, qual seria a velocidade?

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema: temos uma piscina sendo drenada por uma mangueira com diâmetro interno de 20 mm, rugosidade de 0,2 mm e 30 m de comprimento. A ponta da mangueira está 3 m abaixo do fundo da piscina e a água está saindo com uma velocidade média de 1,2 m/s. Nosso objetivo é estimar a profundidade da água na piscina e, também, descobrir qual seria a velocidade da água se o escoamento não houvesse viscosidade (invíscido). Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica, como a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e a equação de Bernoulli para relacionar energia e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades consistentes, preferencialmente metros:
  • Diâmetro da mangueira: 20 mm = 0,02 m
  • Rugosidade da mangueira: 0,2 mm = 0,0002 m
  • Comprimento da mangueira: 30 m
  • Deslocamento vertical: 3 m
  • Velocidade da água: 1,2 m/s

Passo 3

Para calcular a perda de carga na mangueira devido ao atrito, utilizamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
  • é a perda de carga (em metros)
  • é o fator de atrito
  • �� o comprimento da mangueira
  • é o diâmetro interno
  • é a velocidade da água
  • é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s²)

Passo 4

Precisamos determinar o fator de atrito . Para isso, usamos a equação de Colebrook, que relaciona com o número de Reynolds e a rugosidade relativa. Primeiro, calculamos o número de Reynolds ( ):
Onde é a viscosidade cinemática da água (≈ m²/s). Substituindo:
Com e uma rugosidade relativa , podemos estimar ≈ 0,02.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula de Darcy-Weisbach para encontrar a perda de carga:
Calculando:

Passo 6

A profundidade da água na piscina ( ) é a soma da perda de carga na mangueira e do deslocamento vertical:

Passo 7

Portanto, a profundidade da água na piscina é aproximadamente 5,21 metros.

Passo 8

Para o caso de escoamento invíscido, a perda de carga seria zero. Assim, a profundidade da água seria apenas o deslocamento vertical:
Aplicando a equação de Bernoulli para encontrar a velocidade:

Resposta

A profundidade da água na piscina é aproximadamente 5,21 metros. Se o escoamento fosse invíscido, a velocidade da água seria cerca de 7,67 m/s.

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