Uma piscina pequena é drenada usando uma mangueira de jardim. A mangueira tem 20 mm de diâmetro interno, uma rugosidade absoluta de
e 30 m de comprimento. A extremidade livre da mangueira está localizada 3 m abaixo da elevação do fundo da piscina. A velocidade média na descarga da mangueira é
. Estime a profundidade da água na piscina. Se o escoamento fosse invíscido, qual seria a velocidade?
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema: temos uma piscina sendo drenada por uma mangueira com diâmetro interno de 20 mm, rugosidade de 0,2 mm e 30 m de comprimento. A ponta da mangueira está 3 m abaixo do fundo da piscina e a água está saindo com uma velocidade média de 1,2 m/s. Nosso objetivo é estimar a profundidade da água na piscina e, também, descobrir qual seria a velocidade da água se o escoamento não houvesse viscosidade (invíscido). Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica, como a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e a equação de Bernoulli para relacionar energia e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades consistentes, preferencialmente metros:
- Diâmetro da mangueira: 20 mm = 0,02 m
- Rugosidade da mangueira: 0,2 mm = 0,0002 m
- Comprimento da mangueira: 30 m
- Deslocamento vertical: 3 m
- Velocidade da água: 1,2 m/s
Passo 3
Para calcular a perda de carga na mangueira devido ao atrito, utilizamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é a perda de carga (em metros) -
é o fator de atrito -
�� o comprimento da mangueira -
é o diâmetro interno -
é a velocidade da água -
é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s²)
Passo 4
Precisamos determinar o fator de atrito
. Para isso, usamos a equação de Colebrook, que relaciona
com o número de Reynolds e a rugosidade relativa. Primeiro, calculamos o número de Reynolds (
):
Onde
é a viscosidade cinemática da água (≈
m²/s). Substituindo:
Com
e uma rugosidade relativa
, podemos estimar
≈ 0,02.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula de Darcy-Weisbach para encontrar a perda de carga:
Calculando:
Passo 6
A profundidade da água na piscina (
) é a soma da perda de carga na mangueira e do deslocamento vertical:
Passo 7
Portanto, a profundidade da água na piscina é aproximadamente 5,21 metros.
Passo 8
Para o caso de escoamento invíscido, a perda de carga
seria zero. Assim, a profundidade da água seria apenas o deslocamento vertical:
Aplicando a equação de Bernoulli para encontrar a velocidade:
Resposta
A profundidade da água na piscina é aproximadamente 5,21 metros. Se o escoamento fosse invíscido, a velocidade da água seria cerca de 7,67 m/s.
Exercícios relacionados
Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é
. Determine a vazão em volume.
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está se movendo em uma órbita circular de
de raio em um campo magnético uniforme de
perpendicular à velocidade do próton. Encontre a velocidade do próton.
Equação: e
Equação:
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, da razão de áreas
, da massa específica
, e do coeficiente de perda
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Água entra em um tubo a
com uma vazão de
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e
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Qual valor de um fluxo térmico na parede uniforme, (no lugar de = ax), iria fornecer uma temperatura do fluido na saída do tubo igual à determinada no item (b)? Para esse tipo de aquecimento, esboce as distribuições de temperaturas solicitadas no item ©.
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