Analise o escoamento através de uma expansão súbita para obter uma expressão para a velocidade média em termos da variação de pressão , da razão de áreas , da massa específica , e do coeficiente de perda . Se o escoamento fosse sem atrito, a vazão indicada por uma variação de pressão medida seria maior ou menor do que a vazão real, e por quê? Inversamente, se o escoamento fosse sem atrito, uma dada vazão daria uma variação de pressão maior ou menor do que a variação real e por quê?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar como o fluido flui através de uma expansão súbita. O objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade média em termos da variação de pressão , da razão de áreas , da massa específica e do coeficiente de perda . Além disso, a questão quer saber como a presença ou ausência de atrito afeta a vazão medida e a variação de pressão. Para resolver isso, vamos precisar usar princípios da mecânica dos fluidos, especialmente a equação de conservação de energia e a equação de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de continuidade, que nos diz que a vazão deve ser a mesma em qualquer ponto do escoamento. Matemáticamente, isso é expresso por:
Onde e são as áreas das seções 1 e 2, e e são as velocidades nesses pontos.
Passo 3
Como estamos lidando com uma expansão súbita, a área é maior que . A razão de áreas é definida como:
Isso vai nos ajudar a relacionar as velocidades e usando a equação de continuidade.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação de Bernoulli com a consideração das perdas de energia devido ao atrito. A equação fica:
Aqui, é o coeficiente de perda que representa as perdas de carga no sistema.
Passo 5
Substituindo a relação da razão de áreas na equação de Bernoulli. Sabemos que:
Então, substituindo na equação de Bernoulli:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar . Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Onde .
Passo 7
Fatorando dos termos que o contêm:
Agora, vamos resolver para .
Passo 8
Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Rearranjando os termos:
Passo 9
Fatorando :
Agora, isolamos :
Passo 10
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Resposta
A velocidade média é dada por:
Em relação à segunda parte da questão: se o escoamento fosse sem atrito (), a vazão medida por uma variação de pressão seria maior do que a vazão real, porque sem perdas por atrito, a pressão cairia menos, fazendo parecer que a vazão é maior. Inversamente, para uma dada vazão, a variação de pressão sem atrito seria menor do que a variação real, já que não há perdas adicionais devido ao atrito.