Analise o escoamento através de uma expansão súbita para obter uma expressão para a velocidade média V1 em termos da variação de pressão De, da razão de áreas A R, da massa específica rho, e do coeficiente de perda K. Se o escoamento fosse sem atrito, a vazão indicada por uma variação de pressão medida seria maior ou menor do que a vazão real, e por quê? Inversamente, se o escoamento fosse sem atrito, uma dada vazão daria uma variação de pressão maior ou menor do que a variação real e por quê?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar como o fluido flui através de uma expansão súbita. O objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade média em termos da variação de pressão , da razão de áreas , da massa específica e do coeficiente de perda . Além disso, a questão quer saber como a presença ou ausência de atrito afeta a vazão medida e a variação de pressão. Para resolver isso, vamos precisar usar princípios da mecânica dos fluidos, especialmente a equação de conservação de energia e a equação de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de continuidade, que nos diz que a vazão Q = A1 V1 = A2 V2 deve ser a mesma em qualquer ponto do escoamento. Matemáticamente, isso é expresso por:
Onde e são as áreas das seções 1 e 2, e e são as velocidades nesses pontos.

Passo 3

Como estamos lidando com uma expansão súbita, a área AR = A2A1 é maior que . A razão de áreas é definida como:
Isso vai nos ajudar a relacionar as velocidades e usando a equação de continuidade.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Bernoulli com a consideração das perdas de energia devido ao atrito. A equação fica:
p1 + 12 rho V1^2 = p2 + 12 rho V2^2 + K 12 rho V1^2
Aqui, é o coeficiente de perda que representa as perdas de carga no sistema.

Passo 5

Substituindo a relação da razão de áreas na equação de Bernoulli. Sabemos que:
V2 = V1AR
Então, substituindo p1 + 12 rho V1^2 = p2 + 12 rho ( V1AR )^2 + K 12 rho V1^2 na equação de Bernoulli:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar 12 rho V1^2 = De. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Onde .

Passo 7

Fatorando 12 rho V1^2 (1 - K) = De dos termos que o contêm:
Agora, vamos resolver para .

Passo 8

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
rho V1^2 (1 - K) = 2 De
Rearranjando os termos:
rho V1^2 (1 - K) - rho V1^2AR^2 = 2 De

Passo 9

Fatorando rho V1^2 (1 - K - 1AR^2) = 2 De:
V1^2 = 2 De
Agora, isolamos :

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar V1 = raiz 2 De:

Resposta

A velocidade média V1 = raiz 2 De é dada por:
Em relação à segunda parte da questão: se o escoamento fosse sem atrito ( ), a vazão medida por uma variação de pressão seria maior do que a vazão real, porque sem perdas por atrito, a pressão cairia menos, fazendo parecer que a vazão é maior. Inversamente, para uma dada vazão, a variação de pressão sem atrito seria menor do que a variação real, já que não há perdas adicionais devido ao atrito.

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