Considere um escoamento incompressível em um duto circular. Deduza expressões gerais para o número de Reynolds em termos de (a) vazão volumétrica e diâmetro do tubo (b) vazão mássica e diâmetro do tubo. O número de Reynolds é 2000 em uma seção na qual o diâmetro do tubo é 8 mm . Encontre o número de Reynolds para a mesma vazão em uma seção na qual o diâmetro do tubo é 5 mm .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um escoamento incompressível dentro de um duto circular e precisamos deduzir expressões para o número de Reynolds ( ) em duas situações:
(a) Em termos de vazão volumétrica ( ) e diâmetro do tubo ( ).
(b) Em termos de vazão mássica ( ) e diâmetro do tubo ( ).
Além disso, somos informados que o número de Reynolds é 2000 em uma seção com diâmetro de 8 mm e precisamos encontrar o quando o diâmetro é reduzido para 5 mm, mantendo a mesma vazão.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é o número de Reynolds e por que ele é importante.
  • Como relacionar vazão volumétrica e mássica com o número de Reynolds.
  • Como aplicar essas relações para encontrar o na nova condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número de Reynolds. O Re = rho v Dmu é um número adimensional que caracteriza o tipo de escoamento em um fluido: laminar ou turbulento. Ele é definido por:
onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade média do fluido,
  • é o diâmetro do tubo,
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
Para relacionar com a vazão volumétrica , precisamos expressar a velocidade em termos de e .

Passo 3

A vazão volumétrica Q = A v é o volume de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Ela está relacionada à velocidade média A = pi D^24 e à área da seção transversal v = 4Qpi D^2 :
Para um tubo circular, a área é:
Então, podemos expressar a velocidade como:

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da velocidade Re = rho ( 4Qpi D^2 ) Dmu = 4 rho Qpi mu D na fórmula do número de Reynolds:
Re = 4 rho Qpi mu D
Então, a expressão para o número de Reynolds em termos de vazão volumétrica e diâmetro é:

Passo 5

Agora, vamos relacionar o número de Reynolds com a vazão mássica dotm = rho Q . A vazão mássica é definida como:
Q = dotmrho
Podemos rearranjar isso para expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo a expressão de Re = 4 rho ( dotmrho )pi mu D = 4 dotmpi mu D na fórmula do número de Reynolds que encontramos anteriormente:
Re = 4 dotmpi mu D
Portanto, a expressão para o número de Reynolds em termos de vazão mássica e diâmetro é:

Passo 7

Agora que temos as expressões para Re = 4 rho Qpi mu D em termos de Re1Re2 = D2D1 e Re2 = Re1 times D1D2 = 2000 times 85 = 3200 , e em termos de e , podemos utilizar essas relações para resolver a segunda parte do exercício.
Sabemos que em uma seção com diâmetro , o número de Reynolds é . Queremos encontrar o número de Reynolds quando o diâmetro é reduzido para , mantendo a mesma vazão.
Usaremos a expressão em termos de :
Como a vazão é a mesma nas duas seções, podemos formar a relação entre os dois números de Reynolds:
Rearranjando para encontrar :

Resposta

O número de Reynolds na seção com diâmetro de 5 mm é .

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