A água escoa, na direção horizontal, em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável. Desconsidere efeitos de variação de pressão por causa de variação de altura dentro do tubo. A água enche completamente o tubo. Desconsidere efeitos de viscosidade.
Considerando ainda a vazão volumétrica de 1,00 m^1 / 5, encontre o raio de outro ponto onde a velocidade da água é igual a 4,00 m / s ( 5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos entender de que se trata esse exercício. A questão fala sobre a água escoando em um tubo cilíndrico que muda de área ao longo do percurso. A gente precisa achar o raio em um ponto diferente onde a velocidade da água é de 4,00 , m/s. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade dos fluidos, que nos ajuda a relacionar a área da seção do tubo com a velocidade do fluido, mantendo a vazão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vazão volumétrica ( Q). Ela representa o volume de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. A fórmula para a vazão volumétrica é:
Q = A times v
Onde:
  • A é a área da seção transversal do tubo.
  • v é a velocidade da água.

Passo 3

Sabemos que a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo. Isso significa que:
Q1 = Q2
Ou seja:
A1 times v1 = A2 times v2

Passo 4

Vamos expressar a área da seção transversal em termos do raio. A área de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Portanto, podemos reescrever a equação da continuidade assim:
pi r1^2 times v1 = pi r2^2 times v2
Os termos pi se cancelam:
r1^2 times v1 = r2^2 times v2

Passo 5

Queremos achar r2, o raio em outro ponto onde a velocidade é 4,00 , m/s. Vamos reorganizar a equação para isolar r2:
r2^2 = r1^2 times v1v2
Então,
r2 = raizr1^2 times v1v2

Passo 6

Precisamos agora usar a informação da vazão volumétrica para encontrar a relação entre r1 e v1. Sabemos que:
Q = A1 times v1 = pi r1^2 times v1
Dado que Q = 1,00 , m^3/s, temos:
1,00 = pi r1^2 times v1

Passo 7

Precisamos de mais informações para resolver completamente, como o valor de v1 ou r1. No entanto, se assumirmos que o ponto inicial tem velocidade v1 conhecida, podemos proceder. Supondo que v1 seja a velocidade inicial, podemos substituir na equação de r2.
Mas como não temos v1, vamos considerar que a relação entre as velocidades e raios já nos permite encontrar r2 em termos de r1.

Passo 8

Usando a equação de r2 que encontramos:
r2 = raizr1^2 times v14,00
E sabendo que Q = pi r1^2 times v1 = 1,00, podemos substituir v1:
v1 = 1,00pi r1^2
Substituindo na equação de r2:
r2 = raizr1^2 times (1,00pi r1^2)4,00 = raiz1,004,00 pi = raiz14 pi = 12 raizpi

Resposta

O raio no ponto onde a velocidade da água é 4,00 , m/s é 12 raizpi , m.

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