A água escoa, na direção horizontal, em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável. Desconsidere efeitos de variação de pressão por causa de variação de altura dentro do tubo. A água enche completamente o tubo. Desconsidere efeitos de viscosidade.
Considerando ainda a vazão volumétrica de , encontre o raio de outro ponto onde a velocidade da água é igual a ( 5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos entender de que se trata esse exercício. A questão fala sobre a água escoando em um tubo cilíndrico que muda de área ao longo do percurso. A gente precisa achar o raio em um ponto diferente onde a velocidade da água é de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade dos fluidos, que nos ajuda a relacionar a área da seção do tubo com a velocidade do fluido, mantendo a vazão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é vazão volumétrica (). Ela representa o volume de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. A fórmula para a vazão volumétrica é:
Onde:
é a área da seção transversal do tubo.
é a velocidade da água.
Passo 3
Sabemos que a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo. Isso significa que:
Ou seja:
Passo 4
Vamos expressar a área da seção transversal em termos do raio. A área de um círculo é dada por:
Portanto, podemos reescrever a equação da continuidade assim:
Os termos se cancelam:
Passo 5
Queremos achar , o raio em outro ponto onde a velocidade é . Vamos reorganizar a equação para isolar :
Então,
Passo 6
Precisamos agora usar a informação da vazão volumétrica para encontrar a relação entre e . Sabemos que:
Dado que , temos:
Passo 7
Precisamos de mais informações para resolver completamente, como o valor de ou . No entanto, se assumirmos que o ponto inicial tem velocidade conhecida, podemos proceder. Supondo que seja a velocidade inicial, podemos substituir na equação de .
Mas como não temos , vamos considerar que a relação entre as velocidades e raios já nos permite encontrar em termos de .
Passo 8
Usando a equação de que encontramos:
E sabendo que , podemos substituir :
Substituindo na equação de :
Resposta
O raio no ponto onde a velocidade da água é 4,00 , m/s é 12 raizpi , m.