Se a=3 i-4 j e b=-2 i+3 j, determine c=a times b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas vetores no plano, a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 j. A gente precisa encontrar o vetor c que é o produto vetorial de a e b, ou seja, c = a times b. Para isso, vamos usar álgebra vetorial e a fórmula do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se calcula o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional. Mesmo que nossos vetores estejam no plano (ou seja, tenham apenas componentes i e j), a gente pode considerá-los como vetores tridimensionais com a componente k igual a zero.
A fórmula do produto vetorial é dada por:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Onde:
  • ax, ay, az são as componentes do vetor a
  • bx, by, bz são as componentes do vetor b

Passo 3

Vamos atribuir as componentes dos vetores a e b:
a = 3 i - 4 j + 0 k b = -2 i + 3 j + 0 k
Agora, substituímos essas componentes na matriz do determinante:
a times b = i & j & k 3 & -4 & 0 -2 & 3 & 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus:
a times b = i (ay bz - az by) - j (ax bz - az bx) + k (ax by - ay bx)
Substituindo os valores:
a times b = i [(-4)(0) - (0)(3)] - j [(3)(0) - (0)(-2)] + k [(3)(3) - (-4)(-2)]

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  • Componente i:
(-4)(0) - (0)(3) = 0 - 0 = 0
  • Componente j:
(3)(0) - (0)(-2) = 0 - 0 = 0
  • Componente k:
(3)(3) - (-4)(-2) = 9 - 8 = 1

Passo 6

Agora, juntando tudo:
c = a times b = 0 i - 0 j + 1 k = k

Resposta

O vetor resultante é c = k.

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