Água escoa estacionariamente num tubo, Sua velocidade e pressão manométrica em um certo ponto do tubo valem, respectivamente, e . Achar a pressão manométrica num segundo ponto, 20 m abaixo do primeiro, sendo a área transversal no segundo ponto dada pela metade da do primeiro. Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está correndo de forma constante em um tubo. No primeiro ponto, a velocidade da água é de e a pressão manométrica é de . Queremos descobrir qual é a pressão manométrica em um segundo ponto que está 20 metros abaixo do primeiro, e a área desse segundo ponto é metade da área do primeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Bernoulli e a equação da continuidade. Essas ferramentas nos ajudam a relacionar velocidade, pressão e altura em diferentes pontos de um fluido em escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade, que diz que para um fluido incompressível (como a água) em escoamento estacionário, a quantidade de fluido que entra em um ponto deve ser igual à que sai. Matematicamente, isso é:
Onde:
  • e são as áreas transversais nos pontos 1 e 2.
  • e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.

Passo 3

Sabemos que a área no segundo ponto ( ) é metade da área do primeiro ( ). Então:
Substituindo na equação da continuidade:
Podemos simplificar dos dois lados:
Isso significa que a velocidade no segundo ponto ( ) é o dobro da velocidade no primeiro ponto:

Passo 4

Agora vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido em escoamento. A equação é:
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade da água ( )
  • é a velocidade
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura
Como o segundo ponto está 20 metros abaixo, temos:

Passo 5

Vamos reorganizar a Equação de Bernoulli para encontrar :
Sabendo que , substituímos:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, somando tudo:
Aproximationando para dois algarismos significativos, temos:

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto é de aproximadamente .

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