Água escoa estacionariamente num tubo, Sua velocidade e pressão manométrica em um certo ponto do tubo valem, respectivamente,
e
. Achar a pressão manométrica num segundo ponto, 20 m abaixo do primeiro, sendo a área transversal no segundo ponto dada pela metade da do primeiro. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está correndo de forma constante em um tubo. No primeiro ponto, a velocidade da água é de
e a pressão manométrica é de
. Queremos descobrir qual é a pressão manométrica em um segundo ponto que está 20 metros abaixo do primeiro, e a área desse segundo ponto é metade da área do primeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Bernoulli e a equação da continuidade. Essas ferramentas nos ajudam a relacionar velocidade, pressão e altura em diferentes pontos de um fluido em escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da continuidade, que diz que para um fluido incompressível (como a água) em escoamento estacionário, a quantidade de fluido que entra em um ponto deve ser igual à que sai. Matematicamente, isso é:
Onde:
-
e são as áreas transversais nos pontos 1 e 2. -
e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.
Passo 3
Sabemos que a área no segundo ponto (
) é metade da área do primeiro (
). Então:
Substituindo na equação da continuidade:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Isso significa que a velocidade no segundo ponto (
) é o dobro da velocidade no primeiro ponto:
Passo 4
Agora vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido em escoamento. A equação é:
Onde:
-
é a pressão -
é a densidade da água ( ) -
é a velocidade -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a altura
Como o segundo ponto está 20 metros abaixo, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar a Equação de Bernoulli para encontrar
:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, somando tudo:
Aproximationando para dois algarismos significativos, temos:
Resposta
A pressão manométrica no segundo ponto é de aproximadamente
.