Água escoa estacionariamente num tubo, Sua velocidade e pressão manométrica em um certo ponto do tubo valem, respectivamente, 1 m / s e 3 times 10^5 Pa. Achar a pressão manométrica num segundo ponto, 20 m abaixo do primeiro, sendo a área transversal no segundo ponto dada pela metade da do primeiro. Resposta: 4,95 times 10^5 Pa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está correndo de forma constante em um tubo. No primeiro ponto, a velocidade da água é de 1 m/s e a pressão manométrica é de 3 times 10^5 Pa. Queremos descobrir qual é a pressão manométrica em um segundo ponto que está 20 metros abaixo do primeiro, e a área desse segundo ponto é metade da área do primeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Bernoulli e a equação da continuidade. Essas ferramentas nos ajudam a relacionar velocidade, pressão e altura em diferentes pontos de um fluido em escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade, que diz que para um fluido incompressível (como a água) em escoamento estacionário, a quantidade de fluido que entra em um ponto deve ser igual à que sai. Matematicamente, isso é:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas transversais nos pontos 1 e 2.
  • v1 e v2 são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.

Passo 3

Sabemos que a área no segundo ponto ( A2) é metade da área do primeiro ( A1). Então:
A2 = A12
Substituindo na equação da continuidade:
A1 times v1 = A12 times v2
Podemos simplificar A1 dos dois lados:
v1 = v22
Isso significa que a velocidade no segundo ponto ( v2) é o dobro da velocidade no primeiro ponto:
v2 = 2 times v1 = 2 times 1 m/s = 2 m/s

Passo 4

Agora vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido em escoamento. A equação é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P é a pressão
  • rho é a densidade da água ( approx 1000 kg/m^3)
  • v é a velocidade
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2)
  • h é a altura
Como o segundo ponto está 20 metros abaixo, temos:
h2 = h1 - 20 m

Passo 5

Vamos reorganizar a Equação de Bernoulli para encontrar P2:
P2 = P1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2 + rho g (h1 - h2)
Sabendo que h1 - h2 = 20 m, substituímos:
P2 = P1 + 12 times 1000 times (1)^2 - 12 times 1000 times (2)^2 + 1000 times 9,81 times 20

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  1. P2 = 3 times 10^5 + 500 - 2000 + 196200
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, somando tudo:
P2 = 300000 + 500 - 2000 + 196200 = 496700 Pa
Aproximationando para dois algarismos significativos, temos:
P2 approx 4,95 times 10^5 Pa

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto é de aproximadamente 4,95 times 10^5 Pa.

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