Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a , usando técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde escolhemos:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes ( ), temos:
A integral restante é . Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar nos limites de e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a integral original se transforma em:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites de e :
Para :
Simplificando:
Para :
Calculando a diferença:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla avaliada é:
Simplificando os termos semelhantes, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Um tubo capilar com de diâmetro interno é mergulhado numa cuba com glicerina, e a glicerina sobe no tubo, qual é a sua tensão superficial? Resposta: .
Um vasilhame contendo água está fixado na carroceria de um caminhão. Este se move em uma direção horizontal com aceleração de . Qual é o ângulo entre a superfície da água e a horizontal? Resposta: .
Água escoa estacionariamente num tubo, Sua velocidade e pressão manométrica em um certo ponto do tubo valem, respectivamente, e . Achar a pressão manométrica num segundo ponto, 20 m abaixo do primeiro, sendo a área transversal no segundo ponto dada pela metade da do primeiro. Resposta: .
Um vaso cilíndrico, aberto em cima, tem de altura e de diâmetro. Um furo circular, de de diâmetro, é cortado no centro do fundo. Água flui para o vaso, de um tubo acima, a uma taxa de . Supondo que o escoamento seja estacionário, qual é a altura máxima atingida pela água no vaso? Resposta: .