integral0^pi / 6 integral0^pi / 3 x sen(x+y) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a integral0^pi / 6 integral0^pi / 3 x , sen(x+y) , dx , dy e depois em relação a x, usando técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
  • integral0^pi / 3 x , sen(x+y) , dx u = x
  • du = dx

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du), temos:
A integral restante é . Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar nos limites de x = 0 e x = pi/3:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a integral original se transforma em:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites de y = 0 e y = pi/6:
Para y = pi/6:
Simplificando:
Para - pi3 sen(pi3+pi6) - cos(pi3+pi6) + cos(pi6) :
Calculando a diferença:
- pi3 sen(pi2) - cos(pi2) + cos(pi6) = - pi3 (1) - 0 + raiz32
Simplificando:
y = 0

Resposta

A integral dupla avaliada é:
- pi3 + pi raiz36 + raiz32 - 12
Simplificando os termos semelhantes, a resposta final é:
pi raiz36 - pi3 + raiz32 - 12

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