Passo 1
Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, usando técnicas de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ - ⇒
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes (
), temos:
A integral restante é . Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar nos limites de
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a integral original se transforma em:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, avaliamos nos limites de
e
:
Para :
Para
Simplificando:
Para
:
Calculando a diferença:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla avaliada é:
Simplificando os termos semelhantes, a resposta final é: