Um vaso cilíndrico, aberto em cima, tem 20,0 c m de altura e 1 0 , 0 c m de diâmetro. Um furo circular, de 1,00 cm de diâmetro, é cortado no centro do fundo. Água flui para o vaso, de um tubo acima, a uma taxa de 1 4 0 cm^3 / s. Supondo que o escoamento seja estacionário, qual é a altura máxima atingida pela água no vaso? Resposta: h=16,2 cm.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vaso cilíndrico aberto em cima com altura de 20,0 cm e diâmetro de 10,0 cm. Há um furo no fundo com diâmetro de 1,00 cm por onde a água sai. A água está entrando no vaso através de um tubo com uma taxa de fluxo de 140 cm³/s. Queremos descobrir qual é a altura máxima que a água vai atingir no vaso quando o fluxo estiver estável. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluidos e a equação da continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da base do vaso. O diâmetro é 10,0 cm, então o raio ® é metade disso:
r = 10,0 , cm2 = 5,0 , cm
A área (A) de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Então,
Avaso = pi (5,0 , cm)^2 = 25pi , cm^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do furo no fundo do vaso. O diâmetro do furo é 1,00 cm, então o raio é:
r = 1,00 , cm2 = 0,5 , cm
Então,
Afuro = pi (0,5 , cm)^2 = 0,25pi , cm^2

Passo 4

A taxa de fluxo de entrada é de 140 cm³/s. Em regime estacionário, a taxa de fluxo de entrada deve ser igual à taxa de fluxo de saída. A velocidade de saída da água pelo furo pode ser calculada usando a equação da continuidade:
Q = A cdot v
Onde v = QAfuro = 140 , cm^3/s0,25pi , cm^2 = 1400,25pi , cm/s é a taxa de fluxo, v = 560pi , cm/s approx 178,1 , cm/s é a área e é a velocidade. Então, a velocidade de saída:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a velocidade de saída com a altura da coluna de água usando a equação de Torricelli, derivada da conservação de energia para fluidos:
v = raiz2gh
Onde 560pi = raiz2 times 981 , cm/s^2 times h é a aceleração da gravidade ( ) e é a altura da coluna de água. Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Agora, vamos resolver para 560pi = raiz1962h :
( 560pi )^2 = 1962h
Elevando ambos os lados ao quadrado:
313600pi^2 = 1962h
h = 3136001962pi^2
h approx 3136001962 times 9,8696
Calculando:
h approx 31360019394,7
h approx 16,2 , cm

Resposta

A altura máxima atingida pela água no vaso é de aproximadamente .

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