Água escoa em fluxos uniformes através de ranhuras de
do sistema rotativo mostrado. A vazão é de
. Determine o torque requerido para manter o dispositivo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem água escoando de forma uniforme por ranhuras de 2,5 mm em um sistema que está girando. A vazão desse fluxo de água é de 3 litros por segundo. A nossa missão aqui é descobrir qual é o torque necessário para manter esse dispositivo funcionando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos e dinâmica rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma força que faz algo girar. Matematicamente, ele é representado por:
No nosso caso, a força está relacionada à pressão da água agindo nas ranhuras, e o braço de alavanca é o raio das ranhuras onde a água está escoando.
Passo 3
Vamos começar convertendo todas as unidades para o sistema internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Diâmetro das ranhuras: 2,5 mm = 0,0025 metros
- Vazão: 3 litros por segundo = 0,003 metros cúbicos por segundo
Passo 4
Para encontrar a força, precisamos primeiro calcular a pressão exercida pela água. A pressão pode ser calculada usando a fórmula:
Rearranjando a fórmula para encontrar a força:
Passo 5
A área das ranhuras pode ser calculada considerando que a água está fluindo em um espaço retangular. Se considerarmos que a largura da ranhura é 2,5 mm, podemos precisar da profundidade para calcular a área. Porém, como não temos a profundidade, vamos assumir que a largura representada é suficiente para nosso cálculo simplificado.
Então, a área (A) é:
Como o comprimento não foi fornecido, vamos focar na relação entre vazão e velocidade.
Passo 6
A velocidade (v) da água pode ser encontrada usando a relação entre vazão (Q) e área (A):
Assumindo que a água está fluindo perpendicularmente ao raio das ranhuras, a força exercida pode ser relacionada à massa da água e à aceleração centrípeta.
Passo 7
A massa (m) da água que está escoando por segundo é:
Onde
é a densidade da água, aproximadamente 1000 kg/m³.
Passo 8
A força necessária para manter a água escoando em movimento circular é dada por:
Onde
é a velocidade angular e
é o raio das ranhuras. Porém, sem a velocidade angular, precisamos relacionar a potência e o torque.
Passo 9
A potência § requerida pode ser relacionada à vazão e à altura de elevação, mas como não temos a altura, vamos usar a relação entre torque e potência:
Rearranjando para encontrar o torque:
Como não temos
, precisamos de mais informações ou fazer uma suposição sobre a velocidade angular.
Passo 10
Como estamos sem a velocidade angular, vamos simplificar nosso cálculo assumindo que o torque está relacionado diretamente à força e ao raio:
Assumindo que a força é distribuída uniformemente ao longo do raio
, que é metade da largura da ranhura:
Passo 11
Substituindo os valores na fórmula do torque:
Como queremos o torque em termos estáticos, consideramos
:
Resposta
O torque requerido para manter o dispositivo é de aproximadamente 0,00375 N·m.
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