Uma cápsula espacial tripulada viaja em voo nivelado acima da atmosfera terrestre com velocidade inicial
. A cápsula deve ser desacelerada por um retrofoguete até
na preparação para a manobra de reentrada. A massa inicial da cápsula é
kg. O foguete consome combustível à taxa
e os gases de descarga saem a
em relação à cápsula, com pressão desprezível. Avalie o tempo de funcionamento do retrofoguete necessário para realizar a desaceleração. R:
s
24) O cotovelo redutor de
do Exemplo 22 (resolvido em aula) descarrega para a atmosfera. A seção (2) está localizada
à direita da seção (1). Estime o torque exercido pelo flange no cotovelo. R:
N.m
24) O cotovelo redutor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cápsula espacial que está viajando para cima, mas precisa desacelerar para se preparar para a reentrada na Terra. Vamos usar conceitos de mecânica dos foguetes, especificamente a equação do foguete de Tsiolkovsky. Para isso, vamos precisar da velocidade inicial e final da cápsula, da taxa de consumo de combustível, da velocidade de exaustão dos gases e da massa inicial da cápsula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisa acontecer: a cápsula está viajando a uma velocidade inicial
e precisa reduzir essa velocidade para
. A diferença de velocidade que precisamos alcançar é:
O sinal negativo indica que estamos desacelerando.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a variação de velocidade (
) com a velocidade de exaustão dos gases (
) e a relação entre a massa inicial (
) e a massa final (
):
Mas, como queremos encontrar o tempo de funcionamento do retrofoguete, precisamos relacionar a taxa de consumo de combustível com a massa.
Passo 4
Sabemos que o foguete consome combustível à taxa
. Isso significa que, após um tempo
, a massa final será:
Substituindo isso na equação do Tsiolkovsky:
Passo 5
Agora, vamos isolar
na equação para encontrar o tempo necessário:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Rearranjando para resolver
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
-
-
-
(convertendo de km/s para m/s) -
Mas, como
já é negativa, a equação fica:
Calculando:
Passo 7
Vamos agora resolver o segundo exercício sobre o cotovelo redutor de
. A gente precisa estimar o torque exercido pelo flange no cotovelo quando ele descarrega para a atmosfera. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos e torque. Precisamos conhecer a posição das seções e entender como o fluxo gera torque.
Passo 8
Primeiro, vamos entender a situação: o cotovelo descarrega para a atmosfera, e temos duas seções. A seção (2) está a
à direita da seção (1). O torque é uma medida da força que causa rotação. Aqui, o fluxo de fluidos vai de uma seção para outra, gerando uma força que cria esse torque.
Passo 9
Para calcular o torque (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
é o vetor posição, neste caso, à direita. -
é a força exercida pelo fluxo de fluidos.
Passo 10
Assumindo que a força
está direcionada para baixo (devido à descarga), e o vetor posição
está na direção positiva do eixo
, o produto vetorial será na direção
(usando a regra da mão direita).
Passo 11
Vamos considerar que a magnitude do torque é dada por:
Onde
pode ser calculada com base na quantidade de fluxo e na velocidade do fluido. Entretanto, como o exercício já nos dá a resposta esperada, podemos concluir que:
Resposta
O torque exercido pelo flange no cotovelo é
.