Considere a equação de estado de um gás ideal constituído por moléculas, dada por
, onde
é a pressão,
o volume,
o número de moles,
a constante universal dos gases e
a temperatura.
Considere um volume
de um gás com massa
e densidade
.
Considere que a massa molar, isto é, a massa de um mol de moléculas, é dada por
.
(a) Mostre que para um processo isotérmico (a temperatura permanece constante), podemos escrever a relação entre pressão e densidade como
. Encontre o valor da constante
.
Considere um volume
Considere que a massa molar, isto é, a massa de um mol de moléculas, é dada por
(a) Mostre que para um processo isotérmico (a temperatura permanece constante), podemos escrever a relação entre pressão e densidade como
Passo 1
Beleza, então temos uma equação que descreve o comportamento de um gás ideal:
. Aqui,
é a pressão,
o volume,
o número de moles,
a constante dos gases e
a temperatura. O exercício quer que a gente mostre, para um processo isotérmico (onde a temperatura
permanece constante), que a pressão
está diretamente relacionada à densidade
do gás através da relação
. Além disso, precisamos encontrar o valor dessa constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade
é definida como a massa
dividida pelo volume
, ou seja,
. Também sabemos que o número de moles
pode ser expresso em termos da massa molar
(massa de um mol de moléculas) e da massa total
do gás:
.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na equação dos gases ideais:
Mas como
, podemos rearranjar essa expressão para obter
.
Passo 4
Substituindo
na equação anterior:
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Comparando com a forma que queremos atingir
, fica claro que a constante
é igual a
. Ou seja:
Resposta
A constante
é dada por
.