Considere a equação de estado de um gás ideal constituído por moléculas, dada por p V=n R T, onde p é a pressão, V o volume, n o número de moles, R a constante universal dos gases e T a temperatura.
Considere um volume V de um gás com massa M e densidade rho=M / V.
Considere que a massa molar, isto é, a massa de um mol de moléculas, é dada por m.
(a) Mostre que para um processo isotérmico (a temperatura permanece constante), podemos escrever a relação entre pressão e densidade como p=a rho. Encontre o valor da constante a.

Passo 1

Beleza, então temos uma equação que descreve o comportamento de um gás ideal: . Aqui, é a pressão, o volume, o número de moles, a constante dos gases e a temperatura. O exercício quer que a gente mostre, para um processo isotérmico (onde a temperatura permanece constante), que a pressão está diretamente relacionada à densidade do gás através da relação . Além disso, precisamos encontrar o valor dessa constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade é definida como a massa dividida pelo volume , ou seja, . Também sabemos que o número de moles pode ser expresso em termos da massa molar (massa de um mol de moléculas) e da massa total do gás: .

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de pV = ( Mm ) RT na equação dos gases ideais:
Mas como , podemos rearranjar essa expressão para obter .

Passo 4

Substituindo pV = ( rho Vm ) RT na equação anterior:
p = RTm rho
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Comparando com a forma que queremos atingir a = RTm , fica claro que a constante é igual a . Ou seja:

Resposta

A constante é dada por .

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