Considere que para um processo adiabático em um gás temos seguinte relação entre pressão e volume , onde é constante e é a constante adiabática.
Considere um volume de um gás com massa e densidade .
(b) Mostre que a velocidade do som, a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão, é . Onde na situação de equilíbrio (repouso do gás) a pressão é e a densidade é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a velocidade do som em um gás durante um processo adiabático. A gente vai precisar entender um pouco sobre processos adiabáticos, a relação entre pressão e volume nessas condições, e como isso se conecta com a velocidade de ondas de compressão, que é basicamente a velocidade do som nesse contexto. Vamos usar a relação e a definição de densidade para chegar na expressão da velocidade do som.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. A relação nos diz como a pressão e o volume estão relacionados nesse tipo de processo, onde é a constante adiabática específica do gás e é uma constante.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa condição com a densidade do gás. Sabemos que a densidade é definida como a massa dividida pelo volume , ou seja, . Podemos rearranjar isso para expressar o volume: .

Passo 4

Substituindo o volume na relação adiabática, temos:
Como estamos considerando a situação de equilíbrio, onde a pressão é e a densidade é , podemos escrever:

Passo 5

A velocidade do som em um gás pode ser obtida a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão:
Essa equação mostra que a velocidade do som depende da pressão , da densidade e da constante adiabática .

Passo 6

Na situação de equilíbrio, usamos as condições e para encontrar a velocidade do som no gás em repouso. Substituindo esses valores na equação da velocidade do som, temos:

Resposta

Portanto, a velocidade do som no gás em equilíbrio é dada por:

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Considere que para um processo adiabático em um gás temos seguinte relação entre pressão e volume , onde é constante e é a constante adiabática.
Considere um volume de um gás com massa e densidade .
(a) Mostre que para um processo adiabático (não existe troca de calor), podemos escrever a relação entre pressão e densidade como . Encontre o valor da constante .