Considere que para um processo adiabático em um gás temos seguinte relação entre pressão p e volume V: p V^gamma=C, onde C é constante e gamma é a constante adiabática.
Considere um volume V de um gás com massa M e densidade rho= M / V.
(b) Mostre que a velocidade do som, a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão, é v=raizgamma p0 / rho0. Onde na situação de equilíbrio (repouso do gás) a pressão é p0 e a densidade é rho0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a velocidade do som em um gás durante um processo adiabático. A gente vai precisar entender um pouco sobre processos adiabáticos, a relação entre pressão e volume nessas condições, e como isso se conecta com a velocidade de ondas de compressão, que é basicamente a velocidade do som nesse contexto. Vamos usar a relação p V^gamma = C e a definição de densidade rho = MV para chegar na expressão da velocidade do som.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. A relação p V^gamma = C nos diz como a pressão p e o volume V estão relacionados nesse tipo de processo, onde gamma é a constante adiabática específica do gás e C é uma constante.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa condição com a densidade do gás. Sabemos que a densidade rho é definida como a massa M dividida pelo volume V, ou seja, rho = MV. Podemos rearranjar isso para expressar o volume: V = Mrho.

Passo 4

Substituindo o volume V na relação adiabática, temos:
p ( Mrho )^gamma = C
Como estamos considerando a situação de equilíbrio, onde a pressão é p0 e a densidade é rho0, podemos escrever:
p0 ( Mrho0 )^gamma = C

Passo 5

A velocidade do som em um gás pode ser obtida a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão:
v = raiz gamma prho
Essa equação mostra que a velocidade do som depende da pressão p, da densidade rho e da constante adiabática gamma.

Passo 6

Na situação de equilíbrio, usamos as condições p0 e rho0 para encontrar a velocidade do som no gás em repouso. Substituindo esses valores na equação da velocidade do som, temos:
v = raiz gamma p0rho0

Resposta

Portanto, a velocidade do som no gás em equilíbrio é dada por:
v = raiz gamma p0rho0

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