Considere que para um processo adiabático em um gás temos seguinte relação entre pressão
e volume
, onde
é constante e
é a constante adiabática.
Considere um volume
de um gás com massa
e densidade
.
(b) Mostre que a velocidade do som, a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão, é
. Onde na situação de equilíbrio (repouso do gás) a pressão é
e a densidade é
.
Considere um volume
(b) Mostre que a velocidade do som, a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão, é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a velocidade do som em um gás durante um processo adiabático. A gente vai precisar entender um pouco sobre processos adiabáticos, a relação entre pressão e volume nessas condições, e como isso se conecta com a velocidade de ondas de compressão, que é basicamente a velocidade do som nesse contexto. Vamos usar a relação
e a definição de densidade
para chegar na expressão da velocidade do som.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. A relação
nos diz como a pressão
e o volume
estão relacionados nesse tipo de processo, onde
é a constante adiabática específica do gás e
é uma constante.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa condição com a densidade do gás. Sabemos que a densidade
é definida como a massa
dividida pelo volume
, ou seja,
. Podemos rearranjar isso para expressar o volume:
.
Passo 4
Substituindo o volume
na relação adiabática, temos:
Como estamos considerando a situação de equilíbrio, onde a pressão é
e a densidade é
, podemos escrever:
Passo 5
A velocidade do som em um gás pode ser obtida a partir da equação da velocidade de uma onda de compressão:
Essa equação mostra que a velocidade do som depende da pressão
, da densidade
e da constante adiabática
.
Passo 6
Na situação de equilíbrio, usamos as condições
e
para encontrar a velocidade do som no gás em repouso. Substituindo esses valores na equação da velocidade do som, temos:
Resposta
Portanto, a velocidade do som no gás em equilíbrio é dada por: