Água escoa em um tanque muito grande através de um tubo de 2 in de diâmetro. O líquido escuro no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água que está saindo de um tanque grande através de um tubo com diâmetro de 2 polegadas. Além disso, menciona que o líquido escuro no manômetro é mercúrio. Nosso objetivo aqui é estimar duas coisas: a velocidade da água no tubo e a vazão de descarga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a equação de Bernoulli e a fórmula da vazão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um manômetro e como o mercúrio nele nos ajuda. Um manômetro mede a diferença de pressão entre dois pontos. Como o líquido escuro é mercúrio, que é mais denso que a água, podemos usar a diferença de altura no manômetro para calcular a velocidade da água no tubo.
Passo 3
Vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em um fluido em escoamento. A equação simplificada para nosso caso, onde o tanque é muito grande (logo, a velocidade na superfície do tanque é quase zero), fica assim:
Aqui,
é a pressão atmosférica,
é a densidade do mercúrio, e
é a velocidade da água no tubo.
Passo 4
A diferença de pressão medida pelo manômetro (
) é igual ao peso da coluna de mercúrio:
Onde:
-
é a densidade do mercúrio ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da coluna de mercúrio.
Passo 5
Igualamos as duas expressões de pressão:
Queremos resolver para
:
Passo 6
Agora, precisamos saber a altura
da coluna de mercúrio no manômetro para calcular a velocidade
. Supondo que
seja fornecido no exercício (caso contrário, precisaríamos dessa informação para prosseguir).
Passo 7
Depois de encontrar
, podemos calcular a vazão
usando a fórmula:
Onde
é a área da seção transversal do tubo. Como o diâmetro
é de 2 polegadas, primeiro convertamos para metros:
Então, a área
é:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na fórmula da vazão para encontrar
:
Resposta
A velocidade da água no tubo é aproximadamente
e a vazão de descarga é
.
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Se a hamiltoniana
e uma quantidade
são constantes de movimento, prove que
é constante de movimento. Estenda este resultado para