Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento e raio . Calcule a velocidade de entrada uniforme, , se a distribuição de velocidade através da saída é dada por
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo por onde a água está escoando de forma constante. O tubo tem um comprimento e um raio de mm. A gente quer descobrir qual é a velocidade uniforme de entrada da água, sabendo que na saída a velocidade varia conforme a fórmula:
E que m/s. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar a velocidade e a área em diferentes pontos de um fluxo constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluxo incompressível em regime permanente, o fluxo volumétrico (quantidade de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo) é constante em qualquer ponto do tubo. Ou seja:
Onde:
  • é o fluxo volumétrico na entrada.
  • é o fluxo volumétrico na saída.

Passo 3

Na entrada, a velocidade é uniforme, então o fluxo volumétrico é simplesmente a velocidade de entrada vezes a área da seção transversal do tubo :
A área de um círculo é dada por . Com o raio mm m, temos:
Então:

Passo 4

Na saída, a velocidade não é uniforme; ela depende da posição em relação ao centro do tubo. Para calcular o fluxo volumétrico , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área da seção transversal:
Substituindo a expressão da velocidade:
Resolvendo a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, igualamos os fluxos volumétricos:
Resolvendo para :

Resposta

A velocidade de entrada uniforme é aproximadamente 2,86 m/s.

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(a) (b) (e)
p Lente i m RN INI Lado
+16 C,4,0
+12 C, 16
+25 C,35
C, 12
+10 C, 6,
+22 C, 14
+12 C,31
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