Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento e raio . Calcule a velocidade de entrada uniforme, , se a distribuição de velocidade através da saída é dada por
e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tubo por onde a água está escoando de forma constante. O tubo tem um comprimento e um raio de mm. A gente quer descobrir qual é a velocidade uniforme de entrada da água, sabendo que na saída a velocidade varia conforme a fórmula:
E que m/s. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar a velocidade e a área em diferentes pontos de um fluxo constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluxo incompressível em regime permanente, o fluxo volumétrico (quantidade de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo) é constante em qualquer ponto do tubo. Ou seja:
Onde:
é o fluxo volumétrico na entrada.
é o fluxo volumétrico na saída.
Passo 3
Na entrada, a velocidade é uniforme, então o fluxo volumétrico é simplesmente a velocidade de entrada vezes a área da seção transversal do tubo :
A área de um círculo é dada por . Com o raio mm m, temos:
Então:
Passo 4
Na saída, a velocidade não é uniforme; ela depende da posição em relação ao centro do tubo. Para calcular o fluxo volumétrico , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área da seção transversal:
Substituindo a expressão da velocidade:
Resolvendo a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, igualamos os fluxos volumétricos:
Resolvendo para :
Resposta
A velocidade de entrada uniforme é aproximadamente 2,86 m/s.