Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R=75 mm. Calcule a velocidade de entrada uniforme, U, se a distribuição de velocidade através da saída é dada por
u=u max [1-r^2R^2]
e umax =3 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo por onde a água está escoando de forma constante. O tubo tem um comprimento u = umax [1 - r^2R^2] e um raio de mm. A gente quer descobrir qual é a velocidade uniforme de entrada da água, sabendo que na saída a velocidade varia conforme a fórmula:
E que m/s. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar a velocidade e a área em diferentes pontos de um fluxo constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluxo incompressível em regime permanente, o fluxo volumétrico (quantidade de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo) é constante em qualquer ponto do tubo. Ou seja:
Qin = Qout
Onde:
  • é o fluxo volumétrico na entrada.
  • é o fluxo volumétrico na saída.

Passo 3

Na entrada, a velocidade é uniforme, então o fluxo volumétrico é simplesmente a velocidade de entrada Qin = U times A vezes a área da seção transversal do tubo A = pi times (0,075)^2 approx 0,0177 , m^2 :
Qin = U times 0,0177
A área de um círculo é dada por . Com o raio mm m, temos:
Então:

Passo 4

Na saída, a velocidade não é uniforme; ela depende da posição Qout = integral0^R u(r) times 2pi r , dr em relação ao centro do tubo. Para calcular o fluxo volumétrico Qout = integral0^R 3 [1 - r^2(0,075)^2] times 2pi r , dr , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área da seção transversal:
Qout = 2pi times 3 integral0^0,075 ( r - r^30,075^2 ) dr
Substituindo a expressão da velocidade:
integral0^0,075 r , dr = 12 r^2 |0^0,075 = 12 times (0,075)^2 = 0,0028125 , m^2/s
Resolvendo a integral:
integral0^0,075 r^30,075^2 , dr = 10,075^2 times 14 r^4 |0^0,075 = 10,005625 times 14 times (0,075)^4 = 0,0001265625 , m^2/s
Calculando cada parte:
Qout = 6pi times (0,0028125 - 0,0001265625) approx 6pi times 0,0026869 approx 0,0506 , m^3/s
Então:

Passo 5

Agora, igualamos os fluxos volumétricos:
Qin = Qout U times 0,0177 = 0,0506
Resolvendo para U = 0,05060,0177 approx 2,86 , m/s :

Resposta

A velocidade de entrada uniforme é aproximadamente 2,86 m/s.

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