O fluxo na entrada entre as placas paralelas é uniforme com U0=50 mm / s, enquanto que o fluxo a jusante desenvolve um perfil parabólico laminar u=a z(z0- z ), onde a é uma constante. Se z0=20 mm, calcule u máx á.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos um fluxo de fluido entre placas paralelas. Na entrada, a velocidade é uniforme e igual a U0 = 50,mm/s. À medida que o fluxo avança, desenvolve um perfil de velocidade parabólico laminar dado por u = a z (z0 - z), onde a é uma constante e z0 = 20,mm. Nosso objetivo é calcular a velocidade máxima umáxá desse perfil.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma do perfil de velocidade parabólico. A equação u = a z (z0 - z) descreve uma parábola que atinge seu valor máximo em algum ponto entre z = 0 e z = z0. Para encontrar a velocidade máxima, devemos determinar o ponto onde essa função atinge seu máximo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função u(z) em relação a z e igualá-la a zero para encontrar o valor de z onde a velocidade é máxima.
A função é:
u(z) = a z (z0 - z)
Derivando em relação a z:
dudz = a (z0 - z) + a z (-1) = a z0 - 2a z
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
a z0 - 2a z = 0

Passo 4

Resolvendo a equação:
a z0 - 2a z = 0 a z0 = 2a z z = z02
Portanto, a velocidade máxima ocorre em z = z02.

Passo 5

Substituímos z = z02 na função de velocidade para encontrar umáxá:
umáx = a ( z02 ) ( z0 - z02 ) umáx = a ( z02 ) ( z02 ) umáx = a ( z0^24 ) ááá

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de a. Sabemos que na entrada, a velocidade é uniforme e igual a U0 = 50,mm/s. No início, o perfil de velocidade é uniforme, o que significa que u(z) = U0 para todos os z. Comparando com a expressão dada para u(z):
U0 = a z (z0 - z)
Como o fluxo é uniforme na entrada, não há variação com z, então a única maneira disso acontecer é se a z (z0 - z) = U0 for constante. Isso implica que a equação inicialmente representa o desenvolvimento do perfil parabólico a partir de uma condição uniforme.
Para simplificar, consideramos que na entrada z varia de 0 a z0 e a média da velocidade é U0. A velocidade máxima em um perfil parabólico laminar é o dobro da velocidade média. Portanto:
umáx = 2 U0 á

Resposta

A velocidade máxima umáxá é 100,mm/s.

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