O fluxo na entrada entre as placas paralelas é uniforme com
, enquanto que o fluxo a jusante desenvolve um perfil parabólico laminar
), onde a é uma constante. Se
, calcule
.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos um fluxo de fluido entre placas paralelas. Na entrada, a velocidade é uniforme e igual a
. À medida que o fluxo avança, desenvolve um perfil de velocidade parabólico laminar dado por
, onde
é uma constante e
. Nosso objetivo é calcular a velocidade máxima
desse perfil.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma do perfil de velocidade parabólico. A equação
descreve uma parábola que atinge seu valor máximo em algum ponto entre
e
. Para encontrar a velocidade máxima, devemos determinar o ponto onde essa função atinge seu máximo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
em relação a
e igualá-la a zero para encontrar o valor de
onde a velocidade é máxima.
A função é:
Derivando em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Portanto, a velocidade máxima ocorre em
.
Passo 5
Substituímos
na função de velocidade para encontrar
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que na entrada, a velocidade é uniforme e igual a
. No início, o perfil de velocidade é uniforme, o que significa que
para todos os
. Comparando com a expressão dada para
:
Como o fluxo é uniforme na entrada, não há variação com
, então a única maneira disso acontecer é se
for constante. Isso implica que a equação inicialmente representa o desenvolvimento do perfil parabólico a partir de uma condição uniforme.
Para simplificar, consideramos que na entrada
varia de
a
e a média da velocidade é
. A velocidade máxima em um perfil parabólico laminar é o dobro da velocidade média. Portanto:
Resposta
A velocidade máxima
é
.