O fluxo na entrada entre as placas paralelas é uniforme com , enquanto que o fluxo a jusante desenvolve um perfil parabólico laminar ), onde a é uma constante. Se , calcule á.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos um fluxo de fluido entre placas paralelas. Na entrada, a velocidade é uniforme e igual a . À medida que o fluxo avança, desenvolve um perfil de velocidade parabólico laminar dado por , onde é uma constante e . Nosso objetivo é calcular a velocidade máxima á desse perfil.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma do perfil de velocidade parabólico. A equação descreve uma parábola que atinge seu valor máximo em algum ponto entre e . Para encontrar a velocidade máxima, devemos determinar o ponto onde essa função atinge seu máximo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função em relação a e igualá-la a zero para encontrar o valor de onde a velocidade é máxima.
A função é:
Derivando em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Portanto, a velocidade máxima ocorre em .

Passo 5

Substituímos na função de velocidade para encontrar á:
ááá

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que na entrada, a velocidade é uniforme e igual a . No início, o perfil de velocidade é uniforme, o que significa que para todos os . Comparando com a expressão dada para :
Como o fluxo é uniforme na entrada, não há variação com , então a única maneira disso acontecer é se for constante. Isso implica que a equação inicialmente representa o desenvolvimento do perfil parabólico a partir de uma condição uniforme.
Para simplificar, consideramos que na entrada varia de a e a média da velocidade é . A velocidade máxima em um perfil parabólico laminar é o dobro da velocidade média. Portanto:
á

Resposta

A velocidade máxima á é .

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