O recipiente cilindrico de diametro D=0,2 m tem uma contração cônica no fundo com um furo de saída de 3 cm de diâmetro. O tanque contém água limpa nas condições padrão ao nível do mar. Se a superfície da água estiver descendo a uma taxa aproximadamente constante de dh / dt=0,072 m / s, calcule a velocidade média V para fora na saída inferior

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui! Temos um recipiente cilíndrico com diâmetro de 0,2 metros que possui uma contração cônica na parte de baixo com um furo de saída de 3 centímetros de diâmetro. Esse tanque está cheio de água limpa em condições padrão ao nível do mar. A água está saindo e fazendo com que a superfície dela diminua a uma taxa constante de . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade média com que a água está saindo por esse furo.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de equação de continuidade na mecânica de fluidos, que nos ajuda a relacionar as áreas e as velocidades em diferentes partes de um fluido em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas envolvidas nesse problema: a área da superfície da água no tanque cilíndrico e a área do furo de saída.
A área de um círculo é dada por:
A = pi (d2)^2
onde Atanque = pi (0,2 , m2)^2 = pi (0,1 , m)^2 = pi times 0,01 , m^2 approx 0,0314 , m^2 é o diâmetro.
Para o tanque:
Asaída = pi (0,03 , m2)^2 = pi (0,015 , m)^2 = pi times 0,000225 , m^2 approx 0,00070686 , m^2
Para o furo de saída:
í

Passo 3

Agora, vamos aplicar a equação de continuidade, que basicamente diz que, em fluxo constante, o que entra em uma área deve sair por outra área. Matematicamente, fica assim:
Atanque times dhdt = Asaída times V í
Onde:
  • é a área da superfície da água no tanque.
  • é a taxa de variação da altura da água no tanque.
  • í é a área do furo de saída.
  • é a velocidade da água saindo pelo furo.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para resolver V = Atanque times dhdtAsaída :
V = 0,0314 , m^2 times 0,072 , m/s0,00070686 , m^2 í
Agora, é só substituir os valores que já calculamos:

Passo 5

Vamos fazer as contas:
V = 0,0022608 , m^3/s0,00070686 , m^2 approx 3,2 , m/s

Resposta

A velocidade média da água saindo pelo furo inferior é aproximadamente .

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