Uma partícula executa um movimento circular de raio
ao redor da origem (
) de um dado sistema de coordenadas. No instante
, a velocidade angular é
no sentido antihorário. Dado que, no instante
, as coordenadas de posição são
, pede-se: 6.c) Qual é o instante
exato da inversão do movimento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo em um círculo com raio de 2 metros ao redor da origem de um sistema de coordenadas. No início, t = 0 segundos, ela está se movendo com uma velocidade angular de 30 rotações por minuto (rpm) no sentido antihorário, e suas coordenadas iniciais são (1,732 m ; 1 m). A gente precisa descobrir em que instante, chamado de
, esse movimento vai inverter. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento circular, especialmente a relação entre velocidade angular, posição angular e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rpm para radianos por segundo, porque isso facilita nos cálculos. Sabemos que:
Então, para 30 rpm:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição angular inicial
usando as coordenadas iniciais. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Então, temos:
Passo 4
Para que o movimento se inverta, a velocidade angular precisa mudar de
para
. Se considerarmos que essa mudança acontece de forma linear com uma aceleração angular constante
, temos:
Aqui,
.
Sem mais informações sobre como essa aceleração ocorre, podemos assumir que a inversão ocorre quando a partícula completa meio ciclo, ou seja, quando sua posição angular aumenta em
radianos.
Passo 5
Vamos calcular o tempo necessário para essa inversão. Como a partícula está se movendo com velocidade angular constante
, o tempo para percorrer
radianos é:
Resposta
O instante exato da inversão do movimento é
segundo.