Uma partícula executa um movimento circular de raio R=2 m ao redor da origem ( 0 m ; 0 m ) de um dado sistema de coordenadas. No instante t=0 s, a velocidade angular é omega0=30 rpm no sentido antihorário. Dado que, no instante t=0 s, as coordenadas de posição são (X0 ; Y0)=(1,732 m ; 1 m), pede-se: 6.c) Qual é o instante t inv exato da inversão do movimento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo em um círculo com raio de 2 metros ao redor da origem de um sistema de coordenadas. No início, t = 0 segundos, ela está se movendo com uma velocidade angular de 30 rotações por minuto (rpm) no sentido antihorário, e suas coordenadas iniciais são (1,732 m ; 1 m). A gente precisa descobrir em que instante, chamado de , esse movimento vai inverter. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento circular, especialmente a relação entre velocidade angular, posição angular e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rpm para radianos por segundo, porque isso facilita nos cálculos. Sabemos que:
1 rpm = 2pi rad60 s
Então, para 30 rpm:
omega0 = 30 times 2pi60 = pi rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição angular inicial X0 = R cos(theta0) Y0 = R sin(theta0) usando as coordenadas iniciais. Sabemos que:
1,732 = 2 cos(theta0) Rightarrow cos(theta0) = 1,7322 = 0,866 1 = 2 sin(theta0) Rightarrow sin(theta0) = 12 = 0,5
Substituindo os valores:
theta0 = arccos(0,866) = 30^circ ou pi6 rad
Então, temos:

Passo 4

Para que o movimento se inverta, a velocidade angular precisa mudar de alpha = De para . Se considerarmos que essa mudança acontece de forma linear com uma aceleração angular constante , temos:
Aqui, .
Sem mais informações sobre como essa aceleração ocorre, podemos assumir que a inversão ocorre quando a partícula completa meio ciclo, ou seja, quando sua posição angular aumenta em radianos.

Passo 5

Vamos calcular o tempo necessário para essa inversão. Como a partícula está se movendo com velocidade angular constante tinv = piomega0 = pipi = 1 segundo , o tempo para percorrer radianos é:

Resposta

O instante exato da inversão do movimento é segundo.

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