Água escoa em regime permanente com velocidade média u1=0,6 m / s em um tubo de diâmetro interno de 2,4 cm. Na extremidade desse tubo há um disco com 20 pequenos furos, cada um destes tendo 2 mm de diâmetro. Calcule a velocidade u2 da água na saída. (R. 4,32 m / s )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem água escoando num tubo com certas características e precisa descobrir qual a velocidade da água saindo pelos furos no final. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar as velocidades e áreas das seções por onde o fluido passa. Para isso, vamos precisar converter unidades, calcular áreas e aplicar a equação da continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que a gente tem:
  • Velocidade média no tubo ( u1): 0,6 m/s
  • Diâmetro interno do tubo: 2,4 cm
  • Número de furos no disco: 20
  • Diâmetro de cada furo: 2 mm
Antes de mais nada, vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro do tubo: 2,4 cm = 0,024 m
  • Diâmetro de cada furo: 2 mm = 0,002 m

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo ( A1) e a área de cada furo ( A2). A área de um círculo é dada por pi r^2, mas como a gente tem o diâmetro, podemos usar a fórmula:
A = pi d^24
Então:
  • Área do tubo ( A1):
A1 = pi (0,024)^24
  • Área de um furo ( A2):
A2 = pi (0,002)^24

Passo 4

Agora, vamos aplicar a equação da continuidade, que nos diz que o fluxo volumétrico é constante em um fluxo incompressível e estacionário. A equação fica assim:
A1 times u1 = n times A2 times u2
Onde:
  • A1 é a área do tubo
  • u1 é a velocidade no tubo
  • n é o número de furos
  • A2 é a área de cada furo
  • u2 é a velocidade na saída dos furos que queremos encontrar

Passo 5

Vamos isolar u2 na equação para encontrar a velocidade da água na saída:
u2 = A1 times u1n times A2
Substituindo os valores que calculamos:
u2 = pi (0,024)^24 times 0,620 times pi (0,002)^24
Podemos simplificar pi e 14 que estão no numerador e denominador:
u2 = (0,024)^2 times 0,620 times (0,002)^2
Calculando os quadrados:
u2 = 0,000576 times 0,620 times 0,000004 = 0,00034560,00008 = 4,32 , m/s

Resposta

A velocidade da água na saída é u2 = 4,32 m / s.

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