Se a hamiltoniana H e uma quantidade F são constantes de movimento, prove que partial F / partial t é constante de movimento. Estenda este resultado para partial^n F / partial t^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a hamiltoniana e uma quantidade são constantes de movimento, então a derivada parcial de em relação ao tempo, , também é uma constante de movimento. Depois, a gente estende isso para derivadas de ordem . Vamos usar a física clássica, mais especificamente a mecânica hamiltoniana e o conceito de constantes de movimento. Para isso, vamos precisar entender as equações de Hamilton e a definição de constante de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma constante de movimento. Em mecânica hamiltoniana, uma quantidade dFdt = partial Fpartial t + F, H = 0 é uma constante de movimento se sua derivada temporal total é zero, ou seja:
dHdt = 0 e dFdt = 0
Aqui, é o colchete de Poisson entre e . Como o enunciado diz que e são constantes de movimento, temos:

Passo 3

Vamos analisar a condição para partial Fpartial t + F, H = 0 ser constante de movimento:
ddt ( partial Fpartial t ) = 0
Como é constante de movimento, essa equação é satisfeita. Mas queremos provar que também é uma constante de movimento, ou seja, que:

Passo 4

Vamos calcular a derivada temporal total de ddt ( partial Fpartial t ) = partialpartial t ( partial Fpartial t ) + partial Fpartial t, H :
Aqui, usamos novamente a definição de derivada total envolvendo o colchete de Poisson.

Passo 5

Sabemos que dHdt = partial Hpartial t + H, H = 0 também é uma constante de movimento, então:
partial Hpartial t = 0
E como o colchete de Poisson de uma função consigo mesma é zero, temos:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.

Passo 6

Voltando à expressão da derivada de ddt ( partial Fpartial t ) = partial^2 Fpartial t^2 + partial Fpartial t, H :
ddt ( partial Fpartial t ) = partial^2 Fpartial t^2 - F, H, H
Mas como é constante de movimento, sabemos que . Vamos substituir isso na equação:

Passo 7

Utilizando a propriedade da derivada de uma constante de movimento e o fato de que ddt ( partial Fpartial t ) = 0 , concluímos que:
Portanto, também é uma constante de movimento.

Passo 8

Agora, para estender esse resultado a derivadas de ordem , vamos usar indução matemática. Suponha que seja constante de movimento para algum . Então, a derivada de em relação ao tempo também será zero, o que implica que é uma constante de movimento. Assim, por indução, é constante de movimento para todo .

Resposta

Concluímos que se a hamiltoniana e uma quantidade são constantes de movimento, então todas as derivadas parciais de em relação ao tempo, para qualquer , também são constantes de movimento.

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