Se a hamiltoniana
e uma quantidade
são constantes de movimento, prove que
é constante de movimento. Estenda este resultado para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a hamiltoniana
e uma quantidade
são constantes de movimento, então a derivada parcial de
em relação ao tempo,
, também é uma constante de movimento. Depois, a gente estende isso para derivadas de ordem
. Vamos usar a física clássica, mais especificamente a mecânica hamiltoniana e o conceito de constantes de movimento. Para isso, vamos precisar entender as equações de Hamilton e a definição de constante de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma constante de movimento. Em mecânica hamiltoniana, uma quantidade
é uma constante de movimento se sua derivada temporal total é zero, ou seja:
Aqui,
é o colchete de Poisson entre
e
. Como o enunciado diz que
e
são constantes de movimento, temos:
Passo 3
Vamos analisar a condição para
ser constante de movimento:
Como
é constante de movimento, essa equação é satisfeita. Mas queremos provar que
também é uma constante de movimento, ou seja, que:
Passo 4
Vamos calcular a derivada temporal total de
:
Aqui, usamos novamente a definição de derivada total envolvendo o colchete de Poisson.
Passo 5
Sabemos que
também é uma constante de movimento, então:
E como o colchete de Poisson de uma função consigo mesma é zero, temos:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.
Passo 6
Voltando à expressão da derivada de
:
Mas como
é constante de movimento, sabemos que
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 7
Utilizando a propriedade da derivada de uma constante de movimento e o fato de que
, concluímos que:
Portanto,
também é uma constante de movimento.
Passo 8
Agora, para estender esse resultado a derivadas de ordem
, vamos usar indução matemática. Suponha que
seja constante de movimento para algum
. Então, a derivada de
em relação ao tempo também será zero, o que implica que
é uma constante de movimento. Assim, por indução,
é constante de movimento para todo
.
Resposta
Concluímos que se a hamiltoniana
e uma quantidade
são constantes de movimento, então todas as derivadas parciais de
em relação ao tempo,
para qualquer
, também são constantes de movimento.
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