A água está escoando através de um duto circular de 8 cm de diâmetro com um perfil de velocidade dado por . Qual é a velocidade média da água no tubo de diâmetro , que está ligado ao de 8 cm por um redutor de diâmetro?
Passo 1
Então, a gente tem uma água passando por um cano circular de 8 cm de diâmetro, e a velocidade com que a água está se movendo nesse cano não é constante, ela varia conforme a posição radial. A velocidade é dada por cm/s. O que queremos descobrir aqui é qual é a velocidade média da água em um cano menor, de 1,5 cm de diâmetro, que está conectado ao cano de 8 cm por meio de um redutor de diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como o perfil de velocidade e a conservação da massa (equação da continuidade).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade no cano de 8 cm. A equação nos mostra que a velocidade varia com o raio . Para achar a velocidade média, precisamos integrar essa função sobre toda a área da seção transversal e depois dividir pela área total.
Passo 3
Vamos calcular a área do cano de 8 cm de diâmetro. O raio é metade do diâmetro:
A área é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico no cano de 8 cm usando a função de velocidade:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da continuidade, que diz que o fluxo volumétrico é constante em diferentes seções do tubo. Ou seja, .
Sabemos que:
Queremos achar a velocidade média no cano menor de 1,5 cm de diâmetro. Primeiro, calculamos a área desse cano.
Passo 7
Calculando a área do cano de 1,5 cm de diâmetro:
Passo 8
Agora, usando a equação da continuidade:
Dividindo ambos os lados por :
Resposta
A velocidade média da água no cano de 1,5 cm de diâmetro é de .