A água está escoando através de um duto circular de 8 cm de diâmetro com um perfil de velocidade dado por . Qual é a velocidade média da água no tubo de diâmetro , que está ligado ao de 8 cm por um redutor de diâmetro?

Passo 1

Então, a gente tem uma água passando por um cano circular de 8 cm de diâmetro, e a velocidade com que a água está se movendo nesse cano não é constante, ela varia conforme a posição radial. A velocidade é dada por cm/s. O que queremos descobrir aqui é qual é a velocidade média da água em um cano menor, de 1,5 cm de diâmetro, que está conectado ao cano de 8 cm por meio de um redutor de diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como o perfil de velocidade e a conservação da massa (equação da continuidade).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade no cano de 8 cm. A equação nos mostra que a velocidade varia com o raio . Para achar a velocidade média, precisamos integrar essa função sobre toda a área da seção transversal e depois dividir pela área total.

Passo 3

Vamos calcular a área do cano de 8 cm de diâmetro. O raio é metade do diâmetro:
A área é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico no cano de 8 cm usando a função de velocidade:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da continuidade, que diz que o fluxo volumétrico é constante em diferentes seções do tubo. Ou seja, .
Sabemos que:
Queremos achar a velocidade média no cano menor de 1,5 cm de diâmetro. Primeiro, calculamos a área desse cano.

Passo 7

Calculando a área do cano de 1,5 cm de diâmetro:

Passo 8

Agora, usando a equação da continuidade:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A velocidade média da água no cano de 1,5 cm de diâmetro é de .

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