A água está escoando através de um duto circular de 8 cm de diâmetro com um perfil de velocidade dado por u=9(1-r^2 / 16) em cm / s. Qual é a velocidade média da água no tubo de diâmetro 1,5 cm, que está ligado ao de 8 cm por um redutor de diâmetro?

Passo 1

Então, a gente tem uma água passando por um cano circular de 8 cm de diâmetro, e a velocidade com que a água está se movendo nesse cano não é constante, ela varia conforme a posição radial. A velocidade é dada por cm/s. O que queremos descobrir aqui é qual é a velocidade média da água em um cano menor, de 1,5 cm de diâmetro, que está conectado ao cano de 8 cm por meio de um redutor de diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como o perfil de velocidade e a conservação da massa (equação da continuidade).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade no cano de 8 cm. A equação nos mostra que a velocidade varia com o raio . Para achar a velocidade média, precisamos integrar essa função sobre toda a área da seção transversal e depois dividir pela área total.

Passo 3

Vamos calcular a área do cano de 8 cm de diâmetro. O raio R = 82 = 4 , cm é metade do diâmetro:
A = pi R^2 = pi (4)^2 = 16pi , cm^2
A área é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico Q = integral0^4 2pi r cdot u , dr = integral0^4 2pi r cdot 9(1 - r^216) , dr no cano de 8 cm usando a função de velocidade:
Q = 18pi integral0^4 r (1 - r^216) , dr
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^4 r (1 - r^216) , dr = integral0^4 r , dr - 116 integral0^4 r^3 , dr
Calculando cada parte:
integral0^4 r , dr = 12 r^2 |0^4 = 12 (16) = 8
integral0^4 r^3 , dr = 14 r^4 |0^4 = 14 (256) = 64
Então:
8 - 6416 = 8 - 4 = 4
Portanto:
Q = 18pi times 4 = 72pi , cm^3/s

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da continuidade, que diz que o fluxo volumétrico é constante em diferentes seções do tubo. Ou seja, Q1 = 72pi , cm^3/s .
Sabemos que:
Queremos achar a velocidade média no cano menor de 1,5 cm de diâmetro. Primeiro, calculamos a área desse cano.

Passo 7

Calculando a área do cano de 1,5 cm de diâmetro:
R2 = 1,52 = 0,75 , cm
A2 = pi R2^2 = pi (0,75)^2 = pi times 0,5625 = 0,5625pi , cm^2

Passo 8

Agora, usando a equação da continuidade:
Q1 = Q2
72pi = u2 times 0,5625pi
Dividindo ambos os lados por u2 = 72pi0,5625pi = 720,5625 = 128 , cm/s :

Resposta

A velocidade média da água no cano de 1,5 cm de diâmetro é de .

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