Um tanque recebe
de água e
de sal ( NaCl
, e devido a boa agitação no interior do tanque, a concentração da solução que deixa o tanque, com uma vazão de
, é a mesma da solução no interior do tanque. Sabendo-se que existem
de água pura no tanque no início da operação e que as vazões mantêm-se constantes, calcular a concentração da mistura no interior do tanque quando se passaram 1 h .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que está recebendo água e sal em determinadas quantidades e também está liberando uma mistura. Nosso objetivo é descobrir qual será a concentração da mistura dentro do tanque após 1 hora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de balanceamento de massa e taxas de fluxo. Precisaremos entender como as entradas e saídas de água e sal afetam a concentração dentro do tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está entrando e saindo do tanque por hora:
- Entrada de água pura: 68,1 kg/h
- Entrada de sal (NaCl): 13,62 kg/h
- Saída da mistura: 54,48 kg/h
No início, o tanque tem 45,4 kg de água pura, ou seja, sem sal.
Passo 3
Vamos considerar que a concentração de sal na saída é a mesma que a concentração no interior do tanque devido à boa agitação. Vamos chamar a concentração de sal no tanque de
kg de sal por kg de solução no tempo
.
Passo 4
Agora, vamos montar a equação de balanço de massa para o sal no tanque. A taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal resulta na variação da quantidade de sal no tanque:
Onde
é a quantidade de sal no tanque no tempo
.
Passo 5
Vamos calcular cada termo da equação:
- Entrada de sal: 13,62 kg/h
- Saída de sal:
kg/h
Além disso, sabemos que
, onde
é a massa total da solução no tanque no tempo
.
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a variação da massa total
. A massa total no tanque é a soma da água e do sal:
A taxa de entrada de água é 68,1 kg/h e a taxa de saída é 54,48 kg/h. Portanto, a variação da massa total é:
Passo 7
Sabemos que inicialmente há 45,4 kg de água e nenhum sal, então:
E após 1 hora:
Passo 8
Voltando à equação de balanço de massa para o sal:
Como a concentração
, substituímos:
Passo 9
Resolvendo a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 10
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 13
Aplicamos a condição inicial
:
Então,
Passo 14
Substituindo
na expressão de
:
Passo 15
Agora, calculamos
, a quantidade de sal após 1 hora:
Calculando os valores:
Resposta
A concentração da mistura no interior do tanque após 1 hora é de aproximadamente 0,150 kg de sal por kg de solução.
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