Um tanque recebe 68,1 kg / h de água e 13,62 kg / h de sal ( NaCl ), e devido a boa agitação no interior do tanque, a concentração da solução que deixa o tanque, com uma vazão de 54,48 kg / h, é a mesma da solução no interior do tanque. Sabendo-se que existem 45,4 kg de água pura no tanque no início da operação e que as vazões mantêm-se constantes, calcular a concentração da mistura no interior do tanque quando se passaram 1 h .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que está recebendo água e sal em determinadas quantidades e também está liberando uma mistura. Nosso objetivo é descobrir qual será a concentração da mistura dentro do tanque após 1 hora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de balanceamento de massa e taxas de fluxo. Precisaremos entender como as entradas e saídas de água e sal afetam a concentração dentro do tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está entrando e saindo do tanque por hora:
  • Entrada de água pura: 68,1 kg/h
  • Entrada de sal (NaCl): 13,62 kg/h
  • Saída da mistura: 54,48 kg/h
No início, o tanque tem 45,4 kg de água pura, ou seja, sem sal.

Passo 3

Vamos considerar que a concentração de sal na saída é a mesma que a concentração no interior do tanque devido à boa agitação. Vamos chamar a concentração de sal no tanque de kg de sal por kg de solução no tempo .

Passo 4

Agora, vamos montar a equação de balanço de massa para o sal no tanque. A taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal resulta na variação da quantidade de sal no tanque:
Entrada de sal - Saída de sal = dSdt í
Onde é a quantidade de sal no tanque no tempo .

Passo 5

Vamos calcular cada termo da equação:
  • Entrada de sal: 13,62 kg/h
  • Saída de sal: kg/h
Além disso, sabemos que , onde é a massa total da solução no tanque no tempo .

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a variação da massa total M(t) = Água no tanque + S(t) . A massa total no tanque é a soma da água e do sal:
dMdt = 68,1 - 54,48 = 13,62 kg/h Á
A taxa de entrada de água é 68,1 kg/h e a taxa de saída é 54,48 kg/h. Portanto, a variação da massa total é:

Passo 7

Sabemos que inicialmente há 45,4 kg de água e nenhum sal, então:
M(0) = 45,4 kg
E após 1 hora:
M(1) = 45,4 + 13,62 times 1 = 59,02 kg

Passo 8

Voltando à equação de balanço de massa para o sal:
13,62 - C(t) times 54,48 = dSdt
Como a concentração 13,62 - S(t)59,02 times 54,48 = dSdt , substituímos:

Passo 9

Resolvendo a equação diferencial:
dSdt + 54,4859,02 S(t) = 13,62
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 10

Calculamos o fator integrante mu(t) = e^integral 54,4859,02 dt = e^54,4859,02 t :
e^54,4859,02 t dSdt + e^54,4859,02 t 54,4859,02 S(t) = 13,62 e^54,4859,02 t
Multiplicamos a equação diferencial por ddt( e^54,4859,02 t S(t) ) = 13,62 e^54,4859,02 t :
Isso simplifica para:

Passo 11

Integrando ambos os lados:
e^54,4859,02 t S(t) = integral 13,62 e^54,4859,02 t dt + C
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Calculando a integral:
e^54,4859,02 t S(t) = 13,62 times 59,0254,48 e^54,4859,02 t + C
Simplificando:
S(t) = 13,62 times 59,0254,48 + C e^-54,4859,02 t

Passo 13

Aplicamos a condição inicial 0 = 13,62 times 59,0254,48 + C :
C = -13,62 times 59,0254,48
Então,

Passo 14

Substituindo S(t) = 13,62 times 59,0254,48 (1 - e^-54,4859,02 t) na expressão de :

Passo 15

Agora, calculamos S(1) = 13,62 times 59,0254,48 (1 - e^-54,4859,02 times 1) , a quantidade de sal após 1 hora:
S(1) approx 804,152454,48 (1 - e^-0,922) approx 14,75 times (1 - 0,397) approx 14,75 times 0,603 approx 8,89 kg
Calculando os valores:

Resposta

A concentração da mistura no interior do tanque após 1 hora é de aproximadamente 0,150 kg de sal por kg de solução.

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