Mostre que o perfil de velocidades em um tubo circular de diâmetro D é parabólico. Liste as hipóteses envolvidas, questionando suas pertinências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o perfil de velocidades em um tubo circular com diâmetro
é parabólico. Isso está dentro da mecânica dos fluidos, especificamente no estudo do fluxo laminar em tubos. Para isso, vamos precisar usar conceitos como equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo estacionário e totalmente desenvolvido, além das condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o tubo circular com diâmetro
e considerar um sistema de coordenadas cilíndricas onde o eixo
é o sentido do fluxo. Como o fluxo é laminar e totalmente desenvolvido, a velocidade do fluido depende apenas da posição radial
em relação ao centro do tubo.
Passo 3
A equação de Navier-Stokes para contexto de fluxo estacionário, incompressível e sem aceleração na direção
fica simplificada para:
Aqui,
é a variação de pressão ao longo do tubo,
é a viscosidade dinâmica, e
é a velocidade do fluido.
Passo 4
Vamos integrar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicamos a condição de contorno de que a velocidade na parede do tubo (
, onde
) é zero (
):
Substituindo
na equação anterior:
Passo 6
Reorganizando para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Integrando novamente para encontrar
:
Simplificando a integral:
Passo 8
Aplicamos a condição de simetria no centro do tubo (
), onde a derivada da velocidade é zero (
):
Portanto, a expressão simplificada para
é:
Resposta
O perfil de velocidades no tubo circular é parabólico e dado por:
onde
,
é a viscosidade dinâmica, e
é a variação de pressão ao longo do tubo.