Mostre que o perfil de velocidades em um tubo circular de diâmetro D é parabólico. Liste as hipóteses envolvidas, questionando suas pertinências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o perfil de velocidades em um tubo circular com diâmetro é parabólico. Isso está dentro da mecânica dos fluidos, especificamente no estudo do fluxo laminar em tubos. Para isso, vamos precisar usar conceitos como equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo estacionário e totalmente desenvolvido, além das condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o tubo circular com diâmetro e considerar um sistema de coordenadas cilíndricas onde o eixo é o sentido do fluxo. Como o fluxo é laminar e totalmente desenvolvido, a velocidade do fluido depende apenas da posição radial em relação ao centro do tubo.

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para contexto de fluxo estacionário, incompressível e sem aceleração na direção dPdx = mu ( 1r ddr ( r dudr ) ) fica simplificada para:
Aqui, é a variação de pressão ao longo do tubo, é a viscosidade dinâmica, e é a velocidade do fluido.

Passo 4

Vamos integrar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r dPdx = mu ddr ( r dudr ) :
integral r dPdx dr = mu integral ddr ( r dudr ) dr
Integrando em relação a dPdx r^22 = mu r dudr + C1 :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição de contorno de que a velocidade na parede do tubo ( dPdx R^22 = mu R cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = dPdx R^22 , onde dPdx r^22 = mu r dudr + dPdx R^22 ) é zero ( ):
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Reorganizando para isolar mu r dudr = dPdx ( r^22 - R^22 ) :
dudr = dPdx cdot r^2 - R^22 mu r
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Integrando novamente para encontrar u(r) = integral dPdx cdot r^2 - R^22 mu r dr + C2 :
u(r) = dPdx cdot 12 mu integral ( r - R^2r ) dr + C2
Simplificando a integral:
u(r) = dPdx cdot 12 mu ( r^22 - R^2 ln r ) + C2

Passo 8

Aplicamos a condição de simetria no centro do tubo ( u(0) = 0 Rightarrow C2 = 0 ), onde a derivada da velocidade é zero ( u(r) = dPdx cdot 14 mu (R^2 - r^2) ):
Portanto, a expressão simplificada para é:

Resposta

O perfil de velocidades no tubo circular é parabólico e dado por:
u(r) = R^2 - r^24 mu cdot dPdx
onde , é a viscosidade dinâmica, e é a variação de pressão ao longo do tubo.

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