Mostre que o perfil de velocidades em um tubo circular de diâmetro D é parabólico. Liste as hipóteses envolvidas, questionando suas pertinências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o perfil de velocidades em um tubo circular com diâmetro é parabólico. Isso está dentro da mecânica dos fluidos, especificamente no estudo do fluxo laminar em tubos. Para isso, vamos precisar usar conceitos como equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo estacionário e totalmente desenvolvido, além das condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o tubo circular com diâmetro e considerar um sistema de coordenadas cilíndricas onde o eixo é o sentido do fluxo. Como o fluxo é laminar e totalmente desenvolvido, a velocidade do fluido depende apenas da posição radial em relação ao centro do tubo.

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para contexto de fluxo estacionário, incompressível e sem aceleração na direção fica simplificada para:
Aqui, é a variação de pressão ao longo do tubo, é a viscosidade dinâmica, e é a velocidade do fluido.

Passo 4

Vamos integrar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição de contorno de que a velocidade na parede do tubo ( , onde ) é zero ( ):
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Reorganizando para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Integrando novamente para encontrar :
Simplificando a integral:

Passo 8

Aplicamos a condição de simetria no centro do tubo ( ), onde a derivada da velocidade é zero ( ):
Portanto, a expressão simplificada para é:

Resposta

O perfil de velocidades no tubo circular é parabólico e dado por:
onde , é a viscosidade dinâmica, e é a variação de pressão ao longo do tubo.

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