A água escoando entre placas planas paralelas apresenta um perfil de velocidade descrito pela equação:
u=umax [1-(yy0)^2]
Não existe escoamento nem variação de qualquer propriedade na direção de z. Usar a equação do perfil de velocidade para deduzir um valor numérico para a relação ub / umax para o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem água escoando entre duas placas planas paralelas, e a velocidade da água varia conforme a posição entre essas placas. A equação que descreve esse perfil de velocidade é:
u = umax [1 - (yy0)^2 ]
Aqui, u é a velocidade da água em um ponto qualquer entre as placas, umax é a velocidade máxima que a água atinge no meio do espaço entre as placas, y é a distância de um ponto qualquer até o centro entre as placas, e y0 é a distância máxima do centro até as placas. Nosso objetivo é descobrir o valor da relação ub / umax, onde ub representa a velocidade média da água no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade média ub. A velocidade média é, basicamente, uma forma de saber qual seria a velocidade equivalente da água se ela estivesse se movendo de forma constante em todo o espaço entre as placas. Para calcular isso, precisamos integrar o perfil de velocidade ao longo de toda a distância entre as placas e depois dividir pelo comprimento total.
Matematicamente, a velocidade média ub é dada por:
ub = 12y0 integral-y0^y0 u , dy
Mas, como o perfil de velocidade é simétrico em relação ao centro (onde y = 0), podemos simplificar a conta integrando de 0 até y0 e multiplicando por 2:
ub = 12y0 times 2 integral0^y0 u , dy = 1y0 integral0^y0 u , dy

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de u na integral:
ub = 1y0 integral0^y0 umax [1 - (yy0)^2 ] dy
Podemos tirar o umax da integral, já que é uma constante:
ub = umaxy0 integral0^y0 [1 - (yy0)^2 ] dy

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos uma substituição. Vamos definir z = yy0, o que implica que y = z y0 e dy = y0 dz. Substituindo esses valores na integral:
ub = umaxy0 times y0 integral0^1 (1 - z^2) dz = umax integral0^1 (1 - z^2) dz

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 (1 - z^2) dz = integral0^1 1 , dz - integral0^1 z^2 , dz = [ z ]0^1 - [ z^33 ]0^1 = (1 - 0) - ( 13 - 0 ) = 1 - 13 = 23

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão da velocidade média:
ub = umax times 23 = 23 umax

Resposta

A relação entre a velocidade média ub e a velocidade máxima umax é:
ubumax = 23 approx 0,6667

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