A água escoando entre placas planas paralelas apresenta um perfil de velocidade descrito pela equação:
Não existe escoamento nem variação de qualquer propriedade na direção de z. Usar a equação do perfil de velocidade para deduzir um valor numérico para a relação
para o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem água escoando entre duas placas planas paralelas, e a velocidade da água varia conforme a posição entre essas placas. A equação que descreve esse perfil de velocidade é:
Aqui,
é a velocidade da água em um ponto qualquer entre as placas,
é a velocidade máxima que a água atinge no meio do espaço entre as placas,
é a distância de um ponto qualquer até o centro entre as placas, e
é a distância máxima do centro até as placas. Nosso objetivo é descobrir o valor da relação
, onde
representa a velocidade média da água no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade média
. A velocidade média é, basicamente, uma forma de saber qual seria a velocidade equivalente da água se ela estivesse se movendo de forma constante em todo o espaço entre as placas. Para calcular isso, precisamos integrar o perfil de velocidade ao longo de toda a distância entre as placas e depois dividir pelo comprimento total.
Matematicamente, a velocidade média
é dada por:
Mas, como o perfil de velocidade é simétrico em relação ao centro (onde
), podemos simplificar a conta integrando de 0 até
e multiplicando por 2:
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de
na integral:
Podemos tirar o
da integral, já que é uma constante:
Passo 4
Para simplificar a integral, fazemos uma substituição. Vamos definir
, o que implica que
e
. Substituindo esses valores na integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão da velocidade média:
Resposta
A relação entre a velocidade média
e a velocidade máxima
é: