A água escoando entre placas planas paralelas apresenta um perfil de velocidade descrito pela equação:
Não existe escoamento nem variação de qualquer propriedade na direção de z. Usar a equação do perfil de velocidade para deduzir um valor numérico para a relação para o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem água escoando entre duas placas planas paralelas, e a velocidade da água varia conforme a posição entre essas placas. A equação que descreve esse perfil de velocidade é:
Aqui, é a velocidade da água em um ponto qualquer entre as placas, é a velocidade máxima que a água atinge no meio do espaço entre as placas, é a distância de um ponto qualquer até o centro entre as placas, e é a distância máxima do centro até as placas. Nosso objetivo é descobrir o valor da relação , onde representa a velocidade média da água no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade média . A velocidade média é, basicamente, uma forma de saber qual seria a velocidade equivalente da água se ela estivesse se movendo de forma constante em todo o espaço entre as placas. Para calcular isso, precisamos integrar o perfil de velocidade ao longo de toda a distância entre as placas e depois dividir pelo comprimento total.
Matematicamente, a velocidade média é dada por:
Mas, como o perfil de velocidade é simétrico em relação ao centro (onde ), podemos simplificar a conta integrando de 0 até e multiplicando por 2:

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de na integral:
Podemos tirar o da integral, já que é uma constante:

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos uma substituição. Vamos definir , o que implica que e . Substituindo esses valores na integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão da velocidade média:

Resposta

A relação entre a velocidade média e a velocidade máxima é:

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