A água escoando entre placas planas paralelas apresenta um perfil de velocidade descrito pela equação:
Não existe escoamento nem variação de qualquer propriedade na direção de z. Usar a equação do perfil de velocidade para deduzir um valor numérico para a relação
para o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem água escoando entre duas placas planas paralelas, e a velocidade da água varia conforme a posição entre essas placas. A equação que descreve esse perfil de velocidade é:
Aqui,
é a velocidade da água em um ponto qualquer entre as placas,
é a velocidade máxima que a água atinge no meio do espaço entre as placas,
é a distância de um ponto qualquer até o centro entre as placas, e
é a distância máxima do centro até as placas. Nosso objetivo é descobrir o valor da relação
, onde
representa a velocidade média da água no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade média
. A velocidade média é, basicamente, uma forma de saber qual seria a velocidade equivalente da água se ela estivesse se movendo de forma constante em todo o espaço entre as placas. Para calcular isso, precisamos integrar o perfil de velocidade ao longo de toda a distância entre as placas e depois dividir pelo comprimento total.
Matematicamente, a velocidade média
é dada por:
Mas, como o perfil de velocidade é simétrico em relação ao centro (onde
), podemos simplificar a conta integrando de 0 até
e multiplicando por 2:
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de
na integral:
Podemos tirar o
da integral, já que é uma constante:
Passo 4
Para simplificar a integral, fazemos uma substituição. Vamos definir
, o que implica que
e
. Substituindo esses valores na integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão da velocidade média:
Resposta
A relação entre a velocidade média
e a velocidade máxima
é:
Exercícios relacionados
No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão de alimentação de um sistema de irrigação é de
. Ao longo deste trecho de 20 m projeta-se instalar gotejadores, distanciados de
entre si, para operarem com vazão de jato de
. Com o intuito de projetar um tanque para armazenar a água que sai desta tubulação, calcule o valor da vazão mássica, em
, no final do trecho da tubulação, considerando
igual a
. Faça o esquema do sistema, mostrando as correntes de entrada e saída.
Metanol é produzido pela reação
que ocorre quando uma mistura gasosa dos reagentes é passada sobre um catalisador de
a 200 atm e
. A alimentação para o processo é constituída de
em moles de
em moles de CO e
em moles de ar. Todo o metanol é removido do produto do reator no separador e não existem reações secundárias. A
velocidade de purga é de 1 mol por 10 moles de alimentação. Calcular a composição do gás reciclado e a relação entre os moles de metanol produzido e os moles de alimentação.
velocidade de purga é de 1 mol por 10 moles de alimentação. Calcular a composição do gás reciclado e a relação entre os moles de metanol produzido e os moles de alimentação.
Um tanque recebe fluido incompressível (massa específica
) à taxa de
saída, temos que a velocidade é de
e o diâmetro é de 50 cm . O tanque está enchendo, esvaziando ou de volume constante?
Um gás tem uma constante específica
e escoa em uma tubulação de diâmetro de 10 mm . Na seção 1 , sob uma temperatura de
, a pressão efetiva do gás é de 3,5 bar e sua velocidade média é de
. Na seção 2 , à temperatura de
, a pressão efetiva diminui para 1 bar. Obter:
a) a densidade do gás nas duas seções;
b) a vazão mássica do gás na seção 1 ;
c) a velocidade do gás na seção 2;
d) as vazões volumétricas nas duas seções.
a) a densidade do gás nas duas seções;
b) a vazão mássica do gás na seção 1 ;
c) a velocidade do gás na seção 2;
d) as vazões volumétricas nas duas seções.