Água flui a 0,6 m/s por uma mangueira de 2 cm de diâmetro. Sabendo que em seguida passa por outra de 1 cm de diâmetro, determine a nova velocidade pela equação da continuidade. Mostre os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água que está fluindo a uma velocidade de 0,6 m/s em uma mangueira com diâmetro de 2 cm. Depois, essa água passa por outra mangueira que tem diâmetro menor, de 1 cm. Nosso objetivo é descobrir qual será a nova velocidade da água nessa segunda mangueira usando a equação da continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre a área da seção transversal das mangueiras e a velocidade do fluxo de água.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Na física dos fluidos, essa equação nos diz que, para um fluxo constante, a quantidade de água que entra deve ser igual à quantidade que sai. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
- $ A_1 $ é a área da primeira mangueira,
- $ v_1 $ é a velocidade na primeira mangueira,
- $ A_2 $ é a área da segunda mangueira,
- $ v_2 $ é a velocidade na segunda mangueira que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das duas mangueiras. Primeiro, precisamos lembrar que a área de um círculo é dada por:
Onde $ r $ é o raio da mangueira.
Para a primeira mangueira:
- Diâmetro = 2 cm, então o raio $ r_1 = \frac{2}{2} = 1 $ cm.
Para a segunda mangueira:
- Diâmetro = 1 cm, então o raio $ r_2 = \frac{1}{2} = 0,5 $ cm.
Passo 4
Agora que temos as áreas, vamos usar a equação da continuidade para encontrar $ v_2 $:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos resolver para $ v_2 $. Primeiro, podemos simplificar os $ \pi $ dos dois lados:
Agora, isolamos $ v_2 $:
Resposta
A nova velocidade da água na segunda mangueira de 1 cm de diâmetro é 2,4 m/s.