Água flui a 0,6 m/s por uma mangueira de 2 cm de diâmetro. Sabendo que em seguida passa por outra de 1 cm de diâmetro, determine a nova velocidade pela equação da continuidade. Mostre os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água que está fluindo a uma velocidade de 0,6 m/s em uma mangueira com diâmetro de 2 cm. Depois, essa água passa por outra mangueira que tem diâmetro menor, de 1 cm. Nosso objetivo é descobrir qual será a nova velocidade da água nessa segunda mangueira usando a equação da continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre a área da seção transversal das mangueiras e a velocidade do fluxo de água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Na física dos fluidos, essa equação nos diz que, para um fluxo constante, a quantidade de água que entra deve ser igual à quantidade que sai. Matematicamente, isso é representado por:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • $ A_1 $ é a área da primeira mangueira,
  • $ v_1 $ é a velocidade na primeira mangueira,
  • $ A_2 $ é a área da segunda mangueira,
  • $ v_2 $ é a velocidade na segunda mangueira que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas mangueiras. Primeiro, precisamos lembrar que a área de um círculo é dada por:
A = pi times r^2
Onde $ r $ é o raio da mangueira.
Para a primeira mangueira:
  • Diâmetro = 2 cm, então o raio $ r_1 = \frac{2}{2} = 1 $ cm.
r
Para a segunda mangueira:
  • Diâmetro = 1 cm, então o raio $ r_2 = \frac{1}{2} = 0,5 $ cm.
r1 = 22 = 1

Passo 4

Agora que temos as áreas, vamos usar a equação da continuidade para encontrar $ v_2 $:
v2
Substituindo os valores que temos:
A1 times v1 = A2 times v2

Passo 5

Vamos resolver para $ v_2 $. Primeiro, podemos simplificar os $ \pi $ dos dois lados:
v2
Agora, isolamos $ v_2 $:
pi

Resposta

A nova velocidade da água na segunda mangueira de 1 cm de diâmetro é 2,4 m/s.

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