Água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 100,0 m de comprimento, na qual a rugosidade absoluta é igual a varepsilon=0,05 mm. Se a queda de pressão, ao longo deste comprimento não pode exceder a 50 kN / m^2, qual o máximo valor da velocidade média esperada? Considere viscosidade cinemática vâgua =1 times 10^-6 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está passando por um tubo. O tubo tem 50 mm de diâmetro e 100 metros de comprimento, com uma rugosidade de varepsilon = 0,05 mm. A gente sabe que a queda de pressão ao longo desse tubo não pode passar de 50 kN/m^2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade média máxima que a água pode ter para não ultrapassar essa queda de pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de perda de carga em tubulações, que envolve a equação de Darcy-Weisbach.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a perda de carga. Quando a água flui dentro de um tubo, ela encontra resistência devido à viscosidade e à rugosidade da parede do tubo. Essa resistência faz com que haja uma queda de pressão ao longo do tubo, que podemos calcular usando a equação de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • De é a queda de pressão (nossa restrição: 50 times 10^3 N/m^2)
  • f é o fator de atrito
  • L é o comprimento do tubo (100 m)
  • D é o diâmetro do tubo (0,05 m)
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m^3)
  • V é a velocidade média da água que queremos encontrar

Passo 3

Para achar a velocidade média V, precisamos primeiro descobrir o fator de atrito f. O fator de atrito depende do fluxo da água e da rugosidade do tubo, e a gente pode encontrá-lo usando o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook. Porém, para simplificar, vamos usar a equação de Darcy para fluxo laminar ou turbulento.
Primeiro, vamos verificar se o fluxo é laminar ou turbulento calculando o número de Reynolds:
Re = V cdot Dnu
Onde nu é a viscosidade cinemática da água ( 1 times 10^-6 m^2/s). Mas como ainda não sabemos V, vamos nos preparar para resolver isso iterativamente ou assumir uma condição.

Passo 4

Em muitos casos práticos, assumimos que o fluxo é turbulento, especialmente em tubos com diâmetros maiores e alta velocidade. Portanto, vamos assumir que o fluxo é turbulento e usar uma estimativa para o fator de atrito. Para tubos de água com diâmetro de 50 mm e rugosidade de 0,05 mm, o fator de atrito f geralmente está entre 0,015 e 0,02.
Vamos usar f = 0,02 para nossa estimativa inicial. Se necessário, podemos ajustar depois.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação de Darcy-Weisbach para resolver para V:
De
Isolando V:
V = raiz 2 De

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • De
  • D = 0,05 m
  • f = 0,02
  • rho = 1000 kg/m^3
  • L = 100 m
Substituindo:
V = raiz 2 times 50 times 10^3 times 0,050,02 times 1000 times 100

Passo 7

Vamos calcular os números dentro da raiz:
2 times 50 times 10^3 times 0,050,02 times 1000 times 100 = 2 times 50 times 10^3 times 0,052000 = 5 times 10^32000 = 2,5
Então:
V = raiz2,5 approx 1,58 m/s

Resposta

A velocidade média máxima esperada é aproximadamente 1,58 m/s.

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