Água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e
de comprimento, na qual a rugosidade absoluta é igual a
. Se a queda de pressão, ao longo deste comprimento não pode exceder a
, qual o máximo valor da velocidade média esperada? Considere viscosidade cinemática vâgua
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está passando por um tubo. O tubo tem 50 mm de diâmetro e 100 metros de comprimento, com uma rugosidade de
mm. A gente sabe que a queda de pressão ao longo desse tubo não pode passar de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade média máxima que a água pode ter para não ultrapassar essa queda de pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de perda de carga em tubulações, que envolve a equação de Darcy-Weisbach.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a perda de carga. Quando a água flui dentro de um tubo, ela encontra resistência devido à viscosidade e à rugosidade da parede do tubo. Essa resistência faz com que haja uma queda de pressão ao longo do tubo, que podemos calcular usando a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é a queda de pressão (nossa restrição: ) -
é o fator de atrito -
é o comprimento do tubo (100 m) -
é o diâmetro do tubo (0,05 m) -
é a densidade da água (aproximadamente ) -
é a velocidade média da água que queremos encontrar
Passo 3
Para achar a velocidade média
, precisamos primeiro descobrir o fator de atrito
. O fator de atrito depende do fluxo da água e da rugosidade do tubo, e a gente pode encontrá-lo usando o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook. Porém, para simplificar, vamos usar a equação de Darcy para fluxo laminar ou turbulento.
Primeiro, vamos verificar se o fluxo é laminar ou turbulento calculando o número de Reynolds:
Onde
é a viscosidade cinemática da água (
). Mas como ainda não sabemos
, vamos nos preparar para resolver isso iterativamente ou assumir uma condição.
Passo 4
Em muitos casos práticos, assumimos que o fluxo é turbulento, especialmente em tubos com diâmetros maiores e alta velocidade. Portanto, vamos assumir que o fluxo é turbulento e usar uma estimativa para o fator de atrito. Para tubos de água com diâmetro de 50 mm e rugosidade de 0,05 mm, o fator de atrito
geralmente está entre 0,015 e 0,02.
Vamos usar
para nossa estimativa inicial. Se necessário, podemos ajustar depois.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação de Darcy-Weisbach para resolver para
:
Isolando
:
Passo 6
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular os números dentro da raiz:
Então:
Resposta
A velocidade média máxima esperada é aproximadamente
.