Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de líquido, a tensão superficial causa a formação de um menisco na superfície livre, para cima ou para baixo dependendo do ângulo de contato na interface líquido-sólido-gás. Experiências indicam que o módulo do efeito capilar, De (unidade de m no S.I.), é uma função do diâmetro do tubo, D (unidade de m no S.I.), do peso específico do líquido, gamma (unidade de kg /(m^2 s^2) no S.I.), e da tensão superficial, sigma (unidade de N / m no S.I.). Determine os adimensionais relevantes a este problema e proponha uma relação entre eles para a obtenção de uma correlação empírica.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo pequeno imerso em um líquido, e a tensão superficial faz com que se forme um menisco na superfície. Dependendo do ângulo de contato, o menisco pode subir ou descer. A pergunta quer que a gente encontre os parâmetros sem dimensão relevantes para esse problema e que proponha uma relação entre eles para criar uma correlação empírica.
Para resolver isso, vamos precisar usar a análise dimensional, que é uma técnica usada para relacionar diferentes grandezas físicas sem considerar suas unidades específicas. Vamos também precisar entender um pouco sobre tensão superficial e efeito capilar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as grandezas envolvidas no problema e suas unidades no Sistema Internacional (SI):
  • De (altura do efeito capilar) com unidade de metro ( m).
  • D (diâmetro do tubo) com unidade de metro ( m).
  • gamma (peso específico do líquido) com unidade de kg/(m cdot s^2).
  • sigma (tensão superficial) com unidade de newton por metro ( N/m).

Passo 3

Agora, vamos listar as dimensões básicas de cada grandeza em termos de massa ( M), comprimento ( L) e tempo ( T):
  • De: L
  • D: L
  • gamma: M/(L cdot T^2)
  • sigma: M/(T^2)

Passo 4

Vamos usar o Teorema de Buckingham Pi para determinar os parâmetros sem dimensão. Esse teorema nos diz que se temos uma relação entre n grandezas físicas que envolvem k dimensões básicas, então podemos formar n - k grupos sem dimensão.
No nosso caso, temos 4 grandezas ( De, D, gamma, sigma) e 3 dimensões básicas ( M, L, T). Portanto, vamos ter 4 - 3 = 1 parâmetro sem dimensão.

Passo 5

Vamos escolher como repetitivos as grandezas que contêm todas as dimensões básicas. Aqui, escolhemos D (comprimento), gamma (massa/( L cdot T^2)) e sigma (massa/ T^2).
Agora, formamos o parâmetro sem dimensão pi1 usando De, D, gamma, e sigma:
pi1 = De

Passo 6

Como temos apenas um parâmetro sem dimensão, segundo o teorema de Buckingham Pi, a relação entre eles será:
pi1 = constante
Ou seja:
De

Resposta

A relação empírica entre as grandezas sem dimensão é:
De

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