Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de líquido, a tensão superficial causa a formação de um menisco na superfície livre, para cima ou para baixo dependendo do ângulo de contato na interface líquido-sólido-gás. Experiências indicam que o módulo do efeito capilar,
(unidade de
no S.I.), é uma função do diâmetro do tubo,
(unidade de
no S.I.), do peso específico do líquido,
(unidade de
no S.I.), e da tensão superficial,
(unidade de
no S.I.). Determine os adimensionais relevantes a este problema e proponha uma relação entre eles para a obtenção de uma correlação empírica.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo pequeno imerso em um líquido, e a tensão superficial faz com que se forme um menisco na superfície. Dependendo do ângulo de contato, o menisco pode subir ou descer. A pergunta quer que a gente encontre os parâmetros sem dimensão relevantes para esse problema e que proponha uma relação entre eles para criar uma correlação empírica.
Para resolver isso, vamos precisar usar a análise dimensional, que é uma técnica usada para relacionar diferentes grandezas físicas sem considerar suas unidades específicas. Vamos também precisar entender um pouco sobre tensão superficial e efeito capilar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as grandezas envolvidas no problema e suas unidades no Sistema Internacional (SI):
-
(altura do efeito capilar) com unidade de metro ( ). -
(diâmetro do tubo) com unidade de metro ( ). -
(peso específico do líquido) com unidade de . -
(tensão superficial) com unidade de newton por metro ( ).
Passo 3
Agora, vamos listar as dimensões básicas de cada grandeza em termos de massa (
), comprimento (
) e tempo (
):
-
: -
: -
: -
:
Passo 4
Vamos usar o Teorema de Buckingham Pi para determinar os parâmetros sem dimensão. Esse teorema nos diz que se temos uma relação entre
grandezas físicas que envolvem
dimensões básicas, então podemos formar
grupos sem dimensão.
No nosso caso, temos 4 grandezas (
,
,
,
) e 3 dimensões básicas (
,
,
). Portanto, vamos ter
parâmetro sem dimensão.
Passo 5
Vamos escolher como repetitivos as grandezas que contêm todas as dimensões básicas. Aqui, escolhemos
(comprimento),
(massa/(
)) e
(massa/
).
Agora, formamos o parâmetro sem dimensão
usando
,
,
, e
:
Passo 6
Como temos apenas um parâmetro sem dimensão, segundo o teorema de Buckingham Pi, a relação entre eles será:
Ou seja:
Resposta
A relação empírica entre as grandezas sem dimensão é: