A água flui na velocidade v em um tubo cilíndrico de raio r. Negligenciando a viscosidade, a que velocidade a água flui através de uma constrição (estreitamento) na qual o raio do tubo é r / 3 ?
a) v
9 v
c) v / 9
d) 3 v
e) v / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de água em um tubo cilíndrico que se estreita. O plano é descobrir a nova velocidade da água quando o raio do tubo diminui para um terço do original, ou seja, r/3. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar as velocidades e áreas em diferentes pontos de um tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da continuidade diz que, para um fluido incompressível (como a água, se a densidade não muda), o produto da área da seção transversal pelo velocidade do fluido é constante ao longo do tubo. Matemáticamente, isso é representado por:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas das seções do tubo antes e depois da constrição.
  • v1 e v2 são as velocidades do fluido nessas seções.

Passo 3

Vamos calcular as áreas. O tubo é cilíndrico, então a área de cada seção é pi r^2. Antes da constrição:
A1 = pi r^2
Depois da constrição, o raio é r/3:
A2 = pi (r3)^2 = pi r^29

Passo 4

Agora, aplicando a equação da continuidade:
A1 cdot v = A2 cdot v2
Substituindo as áreas que calculamos:
pi r^2 cdot v = pi r^29 cdot v2
Podemos simplificar pi r^2 dos dois lados:
v = v29
Isolando v2:
v2 = 9v

Resposta

A velocidade da água na região estreitada é 9v. Portanto, a alternativa correta é a b) 9v.

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