Uma partícula de massa
está sob a influência de um potencial
, onde
. A energia total da partícula é
e sua função de onda é
a) Encontre a energia potencial do sistema.
a) Calcule
b) Calcule
sem usar
.
a) Calcule
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos uma partícula com massa $ m $ que está sob a influência de um potencial $ V(x) $ definido para todos os valores de $ x $. A energia total dessa partícula é $ \frac{\hbar \omega}{2} $, onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \omega $ é a frequência angular. A função de onda da partícula é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, funções de onda, e valores esperados como $ \langle \hat{x}^2 \rangle $ e $ \langle \hat{p}^2 \rangle $.
Passo 2
a) Encontrar a energia potencial do sistema.
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ de uma partícula em um potencial é a soma da energia cinética $ \langle \hat{p}^2 \rangle / (2m) $ e da energia potencial $ \langle V(x) \rangle $. Na questão, a energia total é dada como $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.
No caso do oscilador harmônico, que parece ser o potencial aqui (pela forma da função de onda), a energia potencial média pode ser relacionada diretamente com a energia total. Para o oscilador harmônico, sabemos que:
E para o estado fundamental, que é o que temos aqui (energia mínima $ \frac{\hbar \omega}{2} $), as energias cinética e potencial são iguais:
Então, a energia potencial média do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{4} $.
Passo 3
b) Calcular $ \langle \hat{x}^{2} \rangle $.
Para calcular o valor esperado de $ \hat{x}^2 $, usamos a definição:
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^*(x) = \varphi(x) $. Substituindo:
Sabemos que:
Aqui, $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $, então:
Para encontrar $ A $, usamos a condição de normalização:
Isso nos dá:
Substituindo $ A^2 $:
Passo 4
c) Calcular $ \langle \hat{p}^{2} \rangle $ sem usar $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $.
Podemos usar a relação da energia total no estado fundamental do oscilador harmônico. Sabemos que:
Como encontrado no Passo 2, $ \langle V(x) \rangle = \frac{\hbar \omega}{4} $, que corresponde a $ \frac{1}{2} m \omega^2 \langle \hat{x}^2 \rangle $. Já vimos que $ \langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $.
Agora, substituindo na expressão da energia total:
Resolvendo para $ \langle \hat{p}^2 \rangle $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2m $:
Resposta
a) A energia potencial média do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{4} $.
b) O valor esperado $ \langle \hat{x}^2 \rangle $ é $ \frac{\hbar}{2 m \omega} $.
c) O valor esperado $ \langle \hat{p}^2 \rangle $ é $ \frac{m \hbar \omega}{2} $.