Uma partícula de massa m está sob a influência de um potencial V(x), onde -infty. A energia total da partícula é hbar omega2 e sua função de onda é
varphi(x)=A exp -m omega2 hbar x^2
a) Encontre a energia potencial do sistema.
a) Calcule lang<=x^2>
b) Calcule sem usar p=-i hbar partialpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos uma partícula com massa $ m $ que está sob a influência de um potencial $ V(x) $ definido para todos os valores de $ x $. A energia total dessa partícula é $ \frac{\hbar \omega}{2} $, onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \omega $ é a frequência angular. A função de onda da partícula é dada por:
m
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, funções de onda, e valores esperados como $ \langle \hat{x}^2 \rangle $ e $ \langle \hat{p}^2 \rangle $.

Passo 2

a) Encontrar a energia potencial do sistema.
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ de uma partícula em um potencial é a soma da energia cinética $ \langle \hat{p}^2 \rangle / (2m) $ e da energia potencial $ \langle V(x) \rangle $. Na questão, a energia total é dada como $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.
No caso do oscilador harmônico, que parece ser o potencial aqui (pela forma da função de onda), a energia potencial média pode ser relacionada diretamente com a energia total. Para o oscilador harmônico, sabemos que:
E
E para o estado fundamental, que é o que temos aqui (energia mínima $ \frac{\hbar \omega}{2} $), as energias cinética e potencial são iguais:
lang<= p^2 rang<= / (2m)
Então, a energia potencial média do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{4} $.

Passo 3

b) Calcular $ \langle \hat{x}^{2} \rangle $.
Para calcular o valor esperado de $ \hat{x}^2 $, usamos a definição:
lang<= x^2 rang<=
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^*(x) = \varphi(x) $. Substituindo:
x^2
Sabemos que:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty varphi^*(x) x^2 varphi(x) dx
Aqui, $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $, então:
varphi(x)
Para encontrar $ A $, usamos a condição de normalização:
varphi^*(x) = varphi(x)
Isso nos dá:
lang<= x^2 rang<= = A^2 integral-infty^infty x^2 exp-m omegahbar x^2 dx
Substituindo $ A^2 $:
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2

Passo 4

c) Calcular $ \langle \hat{p}^{2} \rangle $ sem usar $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $.
Podemos usar a relação da energia total no estado fundamental do oscilador harmônico. Sabemos que:
lang<= p^2 rang<=
Como encontrado no Passo 2, $ \langle V(x) \rangle = \frac{\hbar \omega}{4} $, que corresponde a $ \frac{1}{2} m \omega^2 \langle \hat{x}^2 \rangle $. Já vimos que $ \langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $.
Agora, substituindo na expressão da energia total:
p = -i hbar partialpartial x
Resolvendo para $ \langle \hat{p}^2 \rangle $:
E = lang<= p^2 rang<=2m + 12 m omega^2 lang<= x^2 rang<=
Multiplicando ambos os lados por $ 2m $:
lang<= V(x) rang<= = hbar omega4

Resposta

a) A energia potencial média do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{4} $.
b) O valor esperado $ \langle \hat{x}^2 \rangle $ é $ \frac{\hbar}{2 m \omega} $.
c) O valor esperado $ \langle \hat{p}^2 \rangle $ é $ \frac{m \hbar \omega}{2} $.

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