Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
a) Normalize a função de onda;
b) Calcule
;
c) Calcule
;
d) Verifique se
;
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
)
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcule explicitamente)
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com
. O que está acontecendo?
a) Normalize a função de onda;
b) Calcule
c) Calcule
d) Verifique se
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = \pm \frac{a}{2} $. A função de onda dessa partícula é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda, valores esperados, incertezas ($ \Delta x $ e $ \Delta p $), o princípio da incerteza de Heisenberg, probabilidades e a densidade de probabilidade. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Normalizar a função de onda
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. A condição de normalização é:
No nosso caso, a função de onda é diferente de zero apenas entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, então:
Sabemos que:
Então:
Calculando a integral:
A parte do seno será zero devido à simetria. Então:
Passo 3
b) Calcular $ \Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} $
Primeiro, precisamos encontrar $ \langle x \rangle $ e $ \langle x^2 \rangle $.
Substituindo $ \varphi(x) $:
Devido à função ser par e o intervalo ser simétrico em torno de zero, $ \langle x \rangle = 0 $.
Agora, calculamos $ \langle x^2 \rangle $:
Usando a identidade de $ \cos^2 $, temos:
A integral de $ x^2 $ em um intervalo simétrico é:
Então:
Passo 4
c) Calcular $ \Delta p $ onde $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $
Primeiro, precisamos encontrar $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.
Como a função de onda é real e simétrica, $ \langle p \rangle = 0 $.
Agora, calculamos $ \langle p^2 \rangle $:
Calculando a segunda derivada de $ \varphi(x) $:
Então:
Sabemos que a função está normalizada, então:
Portanto:
Passo 5
d) Verificar se $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $
Vamos calcular o produto das incertezas:
Sabemos que:
Portanto:
O princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito.
Passo 6
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule $ \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $)
A densidade de probabilidade é $ \rho(x) = |\varphi(x)|^2 = \frac{2}{a} \cos^2\left(\frac{3\pi x}{a}\right) $.
Para encontrar o ponto de máxima probabilidade, derivamos $ \rho(x) $ em relação a $ x $ e igualamos a zero:
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são onde $ \frac{3\pi x}{a} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é inteiro.
Dentro do intervalo $ -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2} $, os pontos são:
Testando no segundo derivado ou analisando a função, vemos que os máximos ocorrem em $ x = \pm \frac{a}{6} $.
Passo 7
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $? (calcule explicitamente)
A probabilidade é dada por:
Usando a identidade:
Temos:
Calculando:
Então, a probabilidade é 50%.
Passo 8
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com $ \langle x \rangle $. O que está acontecendo?
No item e), encontramos que os pontos mais prováveis de localizar a partícula são $ x = \pm \frac{a}{6} $, enquanto $ \langle x \rangle = 0 $.
Isso acontece porque, apesar da média das posições ser zero (devido à simetria da função de onda), as probabilidades estão concentradas em pontos simétricos em relação à origem. Ou seja, a partícula é igualmente provável de estar em $ \frac{a}{6} $ e $ -\frac{a}{6} $, resultando em uma média zero, mas com duas posições preferenciais distintas.
Resposta
Finalizamos a resolução de todas as partes do exercício. A função de onda foi normalizada com $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $, as incertezas foram calculadas como $ \Delta x = \frac{a}{2\sqrt{3}} $ e $ \Delta p = \frac{3\pi \hbar}{a} $, verificando que $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $. A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é de 50%. Além disso, observamos que os pontos mais prováveis de localização não coincidem com o valor médio $ \langle x \rangle = 0 $, devido à simetria e distribuição das probabilidades na função de onda.