Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
varphi(x)=A cos (3 pi xa) & -a / 2= a / 2
a) Normalize a função de onda;
b) Calcule De;
c) Calcule De;
d) Verifique se De= hbar2;
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule partial rhopartial x=0 )
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região -a / 2 ? (calcule explicitamente)
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com lang<= xrang<=. O que está acontecendo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = \pm \frac{a}{2} $. A função de onda dessa partícula é dada por:
x á
Vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda, valores esperados, incertezas ($ \Delta x $ e $ \Delta p $), o princípio da incerteza de Heisenberg, probabilidades e a densidade de probabilidade. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Normalizar a função de onda
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. A condição de normalização é:
integral-infty^infty |varphi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função de onda é diferente de zero apenas entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, então:
-a2
Sabemos que:
a2
Então:
integral-a2^a2 A^2 cos^2(3pi xa) dx = 1
Calculando a integral:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
A parte do seno será zero devido à simetria. Então:
A^2 integral-a2^a2 1 + cos(6pi xa)2 dx = 1

Passo 3

b) Calcular $ \Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} $
Primeiro, precisamos encontrar $ \langle x \rangle $ e $ \langle x^2 \rangle $.
De
Substituindo $ \varphi(x) $:
lang<= x rang<=
Devido à função ser par e o intervalo ser simétrico em torno de zero, $ \langle x \rangle = 0 $.
Agora, calculamos $ \langle x^2 \rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Usando a identidade de $ \cos^2 $, temos:
lang<= x rang<= = integral-a2^a2 x |varphi(x)|^2 dx
A integral de $ x^2 $ em um intervalo simétrico é:
varphi(x)
Então:
lang<= x rang<= = integral-a2^a2 x cdot 2a cos^2(3pi xa) dx

Passo 4

c) Calcular $ \Delta p $ onde $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $
Primeiro, precisamos encontrar $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.
Como a função de onda é real e simétrica, $ \langle p \rangle = 0 $.
Agora, calculamos $ \langle p^2 \rangle $:
De
Calculando a segunda derivada de $ \varphi(x) $:
p = -i hbar partialpartial x
Então:
lang<= p rang<=
Sabemos que a função está normalizada, então:
lang<= p^2 rang<=
Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Passo 5

d) Verificar se $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $
Vamos calcular o produto das incertezas:
Sabemos que:
De
Portanto:
pi2 raiz3 approx 2.72 > 12
O princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito.

Passo 6

e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule $ \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $)
A densidade de probabilidade é $ \rho(x) = |\varphi(x)|^2 = \frac{2}{a} \cos^2\left(\frac{3\pi x}{a}\right) $.
Para encontrar o ponto de máxima probabilidade, derivamos $ \rho(x) $ em relação a $ x $ e igualamos a zero:
partial rhopartial x = 0
Isso acontece quando:
rho(x) = |varphi(x)|^2 = 2a cos^2(3pi xa)
Então, os pontos críticos são onde $ \frac{3\pi x}{a} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é inteiro.
Dentro do intervalo $ -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2} $, os pontos são:
rho(x)
Testando no segundo derivado ou analisando a função, vemos que os máximos ocorrem em $ x = \pm \frac{a}{6} $.

Passo 7

f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $? (calcule explicitamente)
A probabilidade é dada por:
-a2 < x < 0
Usando a identidade:
P = integral-a2^0 rho(x) dx = integral-a2^0 2a cos^2(3pi xa) dx
Temos:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Calculando:
P = 2a cdot 12 integral-a2^0 (1 + cos(6pi xa)) dx = 1a [ x + a6pi sin(6pi xa) ]-a2^0
Então, a probabilidade é 50%.

Passo 8

g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com $ \langle x \rangle $. O que está acontecendo?
No item e), encontramos que os pontos mais prováveis de localizar a partícula são $ x = \pm \frac{a}{6} $, enquanto $ \langle x \rangle = 0 $.
Isso acontece porque, apesar da média das posições ser zero (devido à simetria da função de onda), as probabilidades estão concentradas em pontos simétricos em relação à origem. Ou seja, a partícula é igualmente provável de estar em $ \frac{a}{6} $ e $ -\frac{a}{6} $, resultando em uma média zero, mas com duas posições preferenciais distintas.

Resposta

Finalizamos a resolução de todas as partes do exercício. A função de onda foi normalizada com $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $, as incertezas foram calculadas como $ \Delta x = \frac{a}{2\sqrt{3}} $ e $ \Delta p = \frac{3\pi \hbar}{a} $, verificando que $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $. A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é de 50%. Além disso, observamos que os pontos mais prováveis de localização não coincidem com o valor médio $ \langle x \rangle = 0 $, devido à simetria e distribuição das probabilidades na função de onda.

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