Considere uma partícula descrita por uma função de onda Psi(x, t). No instante t=0 temos
Psi(x, 0)=lcA xa, & 0 <= x <= a, A b-xb-a, & a <= x <= b, 0, & qualquer outro caso
Sabendo que A, a e b são constantes reais positivas,
a) Normalize Psi(x, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma partícula descrita por uma função de onda Psi(x, 0) no instante inicial t = 0. Essa função de onda está definida de forma diferente em três intervalos: de 0 a a, de a a b, e fora desses intervalos. Nosso objetivo é normalizar essa função, o que significa ajustar o valor da constante A para que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral e entender como calcular áreas sob curvas para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A condição de normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda por todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^+infty |Psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Como a nossa Psi(x, 0) é diferente em diferentes intervalos e zero fora desses intervalos, podemos dividir a integral em partes:
integral0^a |A xa|^2 dx + integrala^b |A b - xb - a|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral ( 0 <= x <= a):
integral0^a (A xa)^2 dx = A^2 integral0^a x^2a^2 dx = A^2 cdot 1a^2 integral0^a x^2 dx
Calculando a integral de x^2:
integral0^a x^2 dx = [ x^33 ]0^a = a^33
Então, a primeira integral fica:
A^2 cdot 1a^2 cdot a^33 = A^2 cdot a3
Segunda integral ( a <= x <= b):
integrala^b (A b - xb - a)^2 dx = A^2 integrala^b (b - x)^2(b - a)^2 dx = A^2 cdot 1(b - a)^2 integrala^b (b - x)^2 dx
Fazendo a substituição u = b - x, du = -dx, e quando x = a, u = b - a; quando x = b, u = 0:
A^2 cdot 1(b - a)^2 integral0^b - a u^2 du = A^2 cdot 1(b - a)^2 cdot (b - a)^33 = A^2 cdot b - a3

Passo 4

Agora, somamos as duas partes e igualamos a 1:
A^2 cdot a3 + A^2 cdot b - a3 = 1
Fatorando A^2:
A^2 cdot a + (b - a)3 = 1 implies A^2 cdot b3 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 3b
E, por fim, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
A = raiz3b

Resposta

A constante de normalização é A = raizdfrac3b.

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