Calcule o valor médio das energias cinética e potencial para uma partícula regida pela função de onda normalizada abaixo
onde
em
. Use esses cálculos para encontar a energia total do sistema e discuta se esta energia deve ser constante ou não. Se for constante, isto viola o princípio de incerteza
? O que está acontecendo?.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor médio das energias cinética e potencial para uma partícula que segue uma função de onda específica, que é a forma normalizada da função de onda do oscilador harmônico quântico. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especialmente o conceito de operadores de energia. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o valor esperado (ou médio) das energias cinética e potencial usando a função de onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica quântica, a energia total de um sistema é dada pela soma da energia cinética ($ \hat{T}
\hat{V} $). Para o oscilador harmônico, a energia potencial é $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 $.
Passo 3
A energia cinética é representada pelo operador $ \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d2}{dx2} $. Para encontrar o valor médio da energia cinética, precisamos calcular $ \langle T \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x, t) \hat{T} \psi(x, t) dx $.
Passo 4
A função de onda fornecida é:
Essa é a função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico. Note que ela é normalizada, ou seja, $ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x, t)|^2 dx = 1 $.
Passo 5
Vamos calcular a energia potencial média $ \langle V \rangle $:
Sabemos que para a função de onda do estado fundamental, $ \langle x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $. Então:
Passo 6
Agora, calculamos a energia cinética média $ \langle T \rangle $. Para o estado fundamental do oscilador harmônico, a energia cinética média é igual à energia potencial média:
Passo 7
A energia total média $ \langle E \rangle $ é a soma das energias cinética e potencial médias:
Passo 8
Sobre a constância da energia: no estado fundamental, a energia total é um valor fixo $ \frac{\hbar \omega}{2} $, o que significa que a energia é constante ao longo do tempo. Isso não viola o princípio de incerteza porque, nesse estado, os valores de energia estão bem definidos (precisão na energia implica incerteza no tempo). O princípio de incerteza $ \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $ refere-se a medições onde há incerteza tanto em energia quanto no tempo, mas no estado estacionário como o estado fundamental, a energia é bem definida e constante.
Resposta
A energia cinética média é $ \langle T \rangle = \frac{\hbar \omega}{4} $, a energia potencial média é $ \langle V \rangle = \frac{\hbar \omega}{4} $ e a energia total do sistema é $ \langle E \rangle = \frac{\hbar \omega}{2} $. A energia total é constante ao longo do tempo e isso não viola o princípio de incerteza, já que no estado fundamental a energia está bem definida.