Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de
. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um tanque que é meio que um cilindro direto, onde a água está entrando a uma certa velocidade. A parada é que o raio desse cilindro também está crescendo devagarzinho. O que precisamos descobrir é quão rápido a superfície da água está subindo quando o raio for 2 metros e o volume de água for
metros cúbicos. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas, que nos ajudam a entender como diferentes quantidades mudam umas em relação às outras ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro. O volume (
) de um cilindro é dado por:
Onde:
-
é o raio do cilindro -
é a altura (ou a profundidade) da água no tanque
Passo 3
Agora, queremos saber como o volume está mudando com o tempo, então vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo (
):
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
:
- A derivada de
é - A derivada de
é
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar
, a taxa de aumento da superfície da água. Vamos reorganizar a equação para isolá-la:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
-
-
(convertendo centímetros para metros) -
-
Primeiro, precisamos encontrar
quando
m³ e
m:
Passo 6
Agora, substituímos todos os valores na equação para
:
Resposta
A superfície da água está subindo a uma taxa de aproximadamente
metros por minuto quando o raio for 2 metros e o volume for
metros cúbicos.
Exercícios relacionados
Utilize a transformação dada para calcular a integral:
; onde
é a região limitada pela curva
;
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
Utilize as equações para derivada implícita parcial para determinar
e
.
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado.