Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de 4/3 pi m^3 / min. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de 0,2 cm/min. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for 20 pi m^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um tanque que é meio que um cilindro direto, onde a água está entrando a uma certa velocidade. A parada é que o raio desse cilindro também está crescendo devagarzinho. O que precisamos descobrir é quão rápido a superfície da água está subindo quando o raio for 2 metros e o volume de água for metros cúbicos. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas, que nos ajudam a entender como diferentes quantidades mudam umas em relação às outras ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro. O volume ( ) de um cilindro é dado por:
Onde:
  • é o raio do cilindro
  • é a altura (ou a profundidade) da água no tanque

Passo 3

Agora, queremos saber como o volume está mudando com o tempo, então vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo ( ):
Aqui, usamos a regra do produto para derivar :
  • A derivada de é
  • A derivada de é

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar , a taxa de aumento da superfície da água. Vamos reorganizar a equação para isolá-la:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
  • (convertendo centímetros para metros)
Primeiro, precisamos encontrar quando m³ e m:

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na equação para :

Resposta

A superfície da água está subindo a uma taxa de aproximadamente metros por minuto quando o raio for 2 metros e o volume for metros cúbicos.

Exercícios relacionados

Utilize a transformação dada para calcular a integral:
integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A; onde R é a região limitada pela curva x^2-x y+y^2=8; x=raiz2 u-raiz2 / 3 v, y=raiz2 u+raiz2 / 3 v
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR(x+y) d A; onde R é a região delimitada por x^2+y^2-4 y=0
Utilize as equações para derivada implícita parcial para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
1x+1y+1z-1=0, em(2,3,6)
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado.
<-4, 2, 4>