Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela curva ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde a região é limitada pela curva . Para isso, vamos usar uma transformação de coordenadas que nos facilita o cálculo. Vamos precisar de conhecimento de cálculo integral, mudanças de variáveis e cálculo de determinantes jacobianos.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição das variáveis conforme dado no enunciado:
Essa troca de variável vai transformar nossa integral em termos de e , que geralmente simplifica a avaliação.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = raiz2, partial xpartial v = -raiz23
partial ypartial u = raiz2, partial ypartial v = raiz23
Com o jacobiano calculado, ajustamos a integral multiplicando pelo valor absoluto de J. Agora, precisamos expressar a função integranda x^2-x y+y^2 em termos de u e v.
Substituindo x e y:
x^2-x y+y^2 = (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2
Depois de expandir e simplificar, vamos obter uma expressão mais simples em termos de u e v.
A curva que limita a região R era x^2-x y+y^2=8. Substituindo a transformação, temos:
2u^2 + 23v^2 = 8
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
u^2 + 13v^2 = 4
Isso descreve uma elipse no plano uv.
Passo 7
Agora, escrevemos a integral transformada com as novas variáveis e o jacobiano:
integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A = integral duplaU(2u^2 + 23v^2) cdot 4raiz3 du dv
Onde U é a região no plano uv correspondente à elipse u^2 + 13v^2 <= 4.
Passo 8
Para facilitar, podemos mudar para coordenadas polares ajustadas para a elipse. Definimos:
u = 2r cos theta
v = 2raiz3 r sin theta
Onde r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.
Passo 9
Calculamos o novo jacobiano dessa transformação polar:
partial(u,v)partial(r,theta) = 2cos theta & -2rsin theta 2raiz3sin theta & 2raiz3 r cos theta = 4raiz3 r (cos^2 theta + sin^2 theta) = 4raiz3 r
Passo 10
Substituindo na integral:
integral duplaU(2u^2 + 23v^2) cdot 4raiz3 du dv = integral0^2pi integral0^1 (2(4r^2cos^2 theta) + 23(12r^2sin^2 theta)) cdot 4raiz3 cdot 4raiz3 r dr dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^1 (8r^2cos^2 theta + 8r^2sin^2 theta) cdot 16 r dr dtheta