Utilize a transformação dada para calcular a integral:
integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A; onde R é a região limitada pela curva x^2-x y+y^2=8; x=raiz2 u-raiz2 / 3 v, y=raiz2 u+raiz2 / 3 v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A, onde a região R é limitada pela curva x^2-x y+y^2=8. Para isso, vamos usar uma transformação de coordenadas que nos facilita o cálculo. Vamos precisar de conhecimento de cálculo integral, mudanças de variáveis e cálculo de determinantes jacobianos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição das variáveis conforme dado no enunciado:
x = raiz2, u - raiz23, v
y = raiz2, u + raiz23, v
Essa troca de variável vai transformar nossa integral em termos de u e v, que geralmente simplifica a avaliação.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = raiz2, partial xpartial v = -raiz23
partial ypartial u = raiz2, partial ypartial v = raiz23
Então,
J = raiz2 cdot raiz23 - (-raiz23) cdot raiz2 = 2raiz3 + 2raiz3 = 4raiz3

Passo 4

Com o jacobiano calculado, ajustamos a integral multiplicando pelo valor absoluto de J. Agora, precisamos expressar a função integranda x^2-x y+y^2 em termos de u e v.
Substituindo x e y:
x^2-x y+y^2 = (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2
Depois de expandir e simplificar, vamos obter uma expressão mais simples em termos de u e v.

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^2-x y+y^2 = 2u^2 + 23v^2 - (2u^2 - 23v^2) + 2u^2 + 23v^2 = 2u^2 + 23v^2
Então, a função integranda fica 2u^2 + 23v^2.

Passo 6

A curva que limita a região R era x^2-x y+y^2=8. Substituindo a transformação, temos:
2u^2 + 23v^2 = 8
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
u^2 + 13v^2 = 4
Isso descreve uma elipse no plano uv.

Passo 7

Agora, escrevemos a integral transformada com as novas variáveis e o jacobiano:
integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A = integral duplaU(2u^2 + 23v^2) cdot 4raiz3 du dv
Onde U é a região no plano uv correspondente à elipse u^2 + 13v^2 <= 4.

Passo 8

Para facilitar, podemos mudar para coordenadas polares ajustadas para a elipse. Definimos:
u = 2r cos theta
v = 2raiz3 r sin theta
Onde r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 9

Calculamos o novo jacobiano dessa transformação polar:
partial(u,v)partial(r,theta) = 2cos theta & -2rsin theta 2raiz3sin theta & 2raiz3 r cos theta = 4raiz3 r (cos^2 theta + sin^2 theta) = 4raiz3 r

Passo 10

Substituindo na integral:
integral duplaU(2u^2 + 23v^2) cdot 4raiz3 du dv = integral0^2pi integral0^1 (2(4r^2cos^2 theta) + 23(12r^2sin^2 theta)) cdot 4raiz3 cdot 4raiz3 r dr dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^1 (8r^2cos^2 theta + 8r^2sin^2 theta) cdot 16 r dr dtheta
= 128 integral0^2pi integral0^1 r^3 (cos^2 theta + sin^2 theta) dr dtheta
Como cos^2 theta + sin^2 theta = 1:
= 128 integral0^2pi integral0^1 r^3 dr dtheta

Passo 11

Integrando em r:
integral0^1 r^3 dr = [r^44]0^1 = 14
Então:
= 128 cdot 14 integral0^2pi dtheta = 32 cdot 2pi = 64pi

Resposta

A integral vale 64pi.

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