Utilize as equações para derivada implícita parcial para determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a derivada implícita parcial. A gente vai trabalhar com a equação
no ponto
. Para isso, vamos precisar derivar a equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação em relação a
. Quando derivamos, tratamos
como uma constante porque estamos fazendo uma derivada parcial em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é zero, já que
é constante. Agora, para
, como
depende de
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
. A derivada de uma constante, como o 1, é zero. Então, temos:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar
. Primeiro, movemos
para o outro lado:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para derivar a equação em relação a
. Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é zero. - A derivada de
em relação a é . - Para
, usamos novamente a regra da cadeia: . - A derivada do 1 é zero.
Então, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para encontrar
. Primeiro, movemos
para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
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Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de
. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
?
Utilize a transformação dada para calcular a integral:
; onde
é a região limitada pela curva
;
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado.
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado.