Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas polares, que é super útil para integrar sobre regiões que são círculos ou partes deles. Vamos precisar converter tudo para coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A equação
pode ser rearranjada para uma forma mais familiar. Vamos completar o quadrado em
:
Isso mostra que
é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo esses na equação do círculo:
Isso nos dá
ou
. Como
é uma distância positiva, usamos
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração.
varia de
a
porque o círculo está acima do eixo
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
a
.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição
,
:
Avaliada de
a
:
Segunda integral:
Usando a identidade
:
Então:
Sabemos que:
Aplicando isso, a integral resulta em:
Resposta
Somando tudo, a integral dupla vale:
Exercícios relacionados
Determine
,
e
.
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Utilize a transformação dada para calcular a integral:
; onde
é a região limitada pela curva
;
Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de
. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
?