Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR(x+y) d A; onde R é a região delimitada por x^2+y^2-4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela equação . A matéria que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas polares, que é super útil para integrar sobre regiões que são círculos ou partes deles. Vamos precisar converter tudo para coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região x^2 + y^2 - 4y = 0 x^2 + (y^2 - 4y) = 0 x^2 + (y - 2)^2 = 4 . A equação pode ser rearranjada para uma forma mais familiar. Vamos completar o quadrado em :
Isso mostra que é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta
Substituindo esses na equação do círculo:
x^2 + (y - 2)^2 = 4 (r costheta)^2 + (r sintheta - 2)^2 = 4 r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta - 4r sintheta + 4 = 4 r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 4r sintheta = 0 r^2 - 4r sintheta = 0 r(r - 4 sintheta) = 0
Isso nos dá ou . Como é uma distância positiva, usamos .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. 0 <= theta <= pi 0 <= r <= 4 sintheta varia de a porque o círculo está acima do eixo . Para cada nesse intervalo, varia de a .
Então, os limites são:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função x + y = r costheta + r sintheta = r (costheta + sintheta) em coordenadas polares:
integral duplaR(x+y) , dA = integral0^pi integral0^4 sintheta r (costheta + sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi (costheta + sintheta) integral0^4 sintheta r^2 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^4 sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^4 sintheta = (4 sintheta)^33 = 64 sin^3theta3 :
integral duplaR(x+y) , dA = integral0^pi (costheta + sintheta) cdot 64 sin^3theta3 , dtheta = 643 integral0^pi (costheta + sintheta) sin^3theta , dtheta = 643 ( integral0^pi costheta sin^3theta , dtheta + integral0^pi sin^4theta , dtheta )
Substituindo de volta:

Passo 7

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi costheta sin^3theta , dtheta
Fazendo a substituição integral costheta sin^3theta , dtheta = integral u^3 , du = u^44 + C = sin^4theta4 , [ sin^4theta4 ]0^pi = 04 - 04 = 0 :
integral0^pi sin^4theta , dtheta
Avaliada de sin^4theta = ( sin^2theta )^2 = ( 1 - cos(2theta)2 )^2 = 1 - 2cos(2theta) + cos^2(2theta)4 a integral0^pi sin^4theta , dtheta = 14 integral0^pi (1 - 2cos(2theta) + cos^2(2theta)) , dtheta :
integral cos^2(2theta) , dtheta = theta2 + sin(4theta)8 + C
Segunda integral:
14 [ theta - sin(2theta) + theta2 ]0^pi = 14 ( 3pi2 ) = 3pi8
Usando a identidade :
Então:
Sabemos que:
Aplicando isso, a integral resulta em:

Resposta

Somando tudo, a integral dupla vale:
integral duplaR(x+y) , dA = 643 cdot 3pi8 = 8pi

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