Água está fluindo em uma piscina de plástico na forma de um cilindro circular reto, à taxa de 4 pi / 5 m^3 / min. A piscina se enche de tal forma que, embora mantendo a forma cilíndrica, seu raio cresce à taxa de 0,002 m/min. Com que velocidade estará subindo o nível da água quando o raio for 2 m e o volume de água for de 200 pi m^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma piscina em forma de cilindro que está sendo enchida com água. A taxa de enchimento do volume da piscina é de . Enquanto isso, o raio da piscina está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir a que velocidade está subindo o nível da água (ou seja, a altura) quando o raio é de 2 metros e o volume de água é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas com taxas de variação em geometria de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro: , onde V é o volume, r é o raio e h é a altura. Aqui, tanto o raio r quanto a altura h estão mudando com o tempo, então precisamos derivar essa equação em relação ao tempo t para relacionar as taxas de variação.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, temos:
Isso nos dá uma relação entre as taxas de variação do volume, do raio e da altura.

Passo 4

Queremos encontrar , a taxa de variação da altura. Vamos reorganizar a equação derivada para isolar :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar a altura h quando e .
Usando :

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos substituir todos os valores na equação para :

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Subtrair isso de :
  1. Dividir pelo denominador :

Resposta

A altura da água está subindo a uma velocidade de quando o raio é de 2 metros e o volume de água é .

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