Água está fluindo em uma piscina de plástico na forma de um cilindro circular reto, à taxa de
. A piscina se enche de tal forma que, embora mantendo a forma cilíndrica, seu raio cresce à taxa de
. Com que velocidade estará subindo o nível da água quando o raio for 2 m e o volume de água for de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma piscina em forma de cilindro que está sendo enchida com água. A taxa de enchimento do volume da piscina é de
. Enquanto isso, o raio da piscina está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir a que velocidade está subindo o nível da água (ou seja, a altura) quando o raio é de 2 metros e o volume de água é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas com taxas de variação em geometria de cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro:
, onde
é o volume,
é o raio e
é a altura. Aqui, tanto o raio
quanto a altura
estão mudando com o tempo, então precisamos derivar essa equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação
em relação ao tempo, temos:
Isso nos dá uma relação entre as taxas de variação do volume, do raio e da altura.
Passo 4
Queremos encontrar
, a taxa de variação da altura. Vamos reorganizar a equação derivada para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar a altura
quando
e
.
Usando
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir todos os valores na equação para
:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
:
- Subtrair isso de
:
- Dividir pelo denominador
:
Resposta
A altura da água está subindo a uma velocidade de
quando o raio é de 2 metros e o volume de água é
.