Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = x^4 / 4 + 1 / (8 x^2), para 0 <= x <= 3, em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área lateral de uma superfície que é formada ao girar a curva no intervalo de até em torno do eixo . Isso está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente usando a fórmula para área de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, pra calcular a área lateral dessa superfície, a gente vai usar a seguinte fórmula:
Aqui, é a função que está sendo girada, é a derivada de em relação a , e é o intervalo de que estamos considerando, que no caso é de 0 a 3.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou uma calculadora de integrais para encontrar o valor aproximado. Utilizando uma ferramenta de cálculo, obtemos:
é

Resposta

A área lateral da superfície de revolução é aproximadamente [valor numérico] unidades quadradas.

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