Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área lateral de uma superfície que é formada ao girar a curva
no intervalo de
até
em torno do eixo
. Isso está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente usando a fórmula para área de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, pra calcular a área lateral dessa superfície, a gente vai usar a seguinte fórmula:
Aqui,
é a função que está sendo girada,
é a derivada de
em relação a
, e
é o intervalo de
que estamos considerando, que no caso é de 0 a 3.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou uma calculadora de integrais para encontrar o valor aproximado. Utilizando uma ferramenta de cálculo, obtemos:
Resposta
A área lateral da superfície de revolução é aproximadamente [valor numérico] unidades quadradas.