Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função diferenciável
no ponto
. A derivada direcional dessa função é igual a 3 na direção do vetor
e igual a -1 na direção do vetor
. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de
no ponto
, ou seja,
.
Os conteúdos que vamos precisar para resolver isso são:
- Derivada direcional
- Gradiente
- Produto escalar
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor qualquer é igual ao produto escalar do gradiente da função com o vetor unitário nessa direção. Matematicamente, isso fica assim:
Aqui,
é o vetor unitário na direção do vetor
.
Passo 3
Vamos normalizar os vetores das direções dadas para encontrar os vetores unitários.
Para o vetor
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Para o vetor
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
Sabemos que:
Vamos chamar o gradiente de
. Então temos:
Passo 5
Para facilitar, vamos multiplicar ambas as equações por 5:
Passo 6
Agora, vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 7
Com o valor de
, vamos substituir em uma das equações para encontrar
. Usando
:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é: