Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto 1,1, derivada direcional igual a 3 na direção 4i + 3j e igual a -1 na direção 4 * i - 3 * j. Calcule:
(a) nabla f(1,1).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função diferenciável no ponto . A derivada direcional dessa função é igual a 3 na direção do vetor e igual a -1 na direção do vetor . Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de no ponto , ou seja, .
Os conteúdos que vamos precisar para resolver isso são:
  • Derivada direcional
  • Gradiente
  • Produto escalar

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor qualquer é igual ao produto escalar do gradiente da função com o vetor unitário nessa direção. Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, é o vetor unitário na direção do vetor .

Passo 3

Vamos normalizar os vetores das direções dadas para encontrar os vetores unitários.
Para o vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Para o vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Sabemos que:
Vamos chamar o gradiente de . Então temos:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar ambas as equações por 5:

Passo 6

Agora, vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 7

Com o valor de , vamos substituir em uma das equações para encontrar . Usando :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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