Se u e v são funções de x, calcule d y / d x quando: y = u * v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é o produto de duas outras funções, e , todas dependendo de . O que a gente precisa encontrar é a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o que é chamado de Regra do Produto da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso, . Então, nos mostra como muda conforme muda.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que se , então a derivada de em relação a é dada por:
Ou seja, a derivada de é vezes a derivada de mais vezes a derivada de .

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • é a derivada de em relação a .
  • é a derivada de em relação a .
  • Multiplicamos pela derivada de e pela derivada de e somamos os dois resultados.

Passo 5

Então, para calcular , você precisa:
  1. Derivar em relação a para obter .
  2. Derivar em relação a para obter .
  3. Multiplicar por .
  4. Multiplicar por .
  5. Somar os dois resultados obtidos nos passos 3 e 4.

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Resolver
(a) Se r(t) = <t, t^2, t^3>, encontre r'(t), T(1), r''(t) e r'(t) x r''(t).
(b) Se r(t) = < e^(2t), e^(-2t), t e^(2t) >, encontre T(0), r''(0) e r'(t) . r''(t).
Dadas f(t, u) = t^2 * u, g(t, u) = t + u^2 e phi(t, u) = f^2 + g^2, calcule phi_t e phi_u.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=arcsen(3 x+y) ; x=r^2 e^s ; y=sen r s ; partial upartial r ; partial upartial s.
Água está fluindo em uma piscina de plástico na forma de um cilindro circular reto, à taxa de 4 pi / 5 m^3 / min. A piscina se enche de tal forma que, embora mantendo a forma cilíndrica, seu raio cresce à taxa de 0,002 m/min. Com que velocidade estará subindo o nível da água quando o raio for 2 m e o volume de água for de 200 pi m^3 ?