Se
e
são funções de
, calcule
quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é o produto de duas outras funções,
e
, todas dependendo de
. O que a gente precisa encontrar é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o que é chamado de Regra do Produto da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso,
. Então,
nos mostra como
muda conforme
muda.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que se
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Ou seja, a derivada de
é
vezes a derivada de
mais
vezes a derivada de
.
Passo 4
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - Multiplicamos
pela derivada de e pela derivada de e somamos os dois resultados.
Passo 5
Então, para calcular
, você precisa:
- Derivar
em relação a para obter . - Derivar
em relação a para obter . - Multiplicar
por . - Multiplicar
por . - Somar os dois resultados obtidos nos passos 3 e 4.
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Resolver
(a) Se , encontre
e
.
(b) Se , encontre
e
.
(a) Se
(b) Se
Dadas
e
, calcule
e
.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Água está fluindo em uma piscina de plástico na forma de um cilindro circular reto, à taxa de
. A piscina se enche de tal forma que, embora mantendo a forma cilíndrica, seu raio cresce à taxa de
. Com que velocidade estará subindo o nível da água quando o raio for 2 m e o volume de água for de
?