Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma função composta , onde
e
também são funções de
e
:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as relações entre as variáveis. Sabemos que
depende de
e
, e que
e
dependem de
e
. Isso significa que, para encontrar
e
, precisamos considerar como
muda com
e
, e como
e
mudam com
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral para a derivada parcial de
em relação a
é:
E de forma semelhante para
:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia, temos:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são: