Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=arcsen(3 x+y) ; x=r^2 e^s ; y=sen r s ; partial upartial r ; partial upartial s.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma função composta , onde x = r^2 e^s e y = sen(r s) e também são funções de e :
Precisamos calcular as derivadas parciais e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as relações entre as variáveis. Sabemos que depende de e , e que e dependem de e . Isso significa que, para encontrar e , precisamos considerar como muda com e , e como e mudam com e .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral para a derivada parcial de partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r em relação a partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s é:
E de forma semelhante para :
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 4

Vamos calcular partial upartial x = ddx arcsen(3x + y) = 3raiz1 - (3x + y)^2 e partial upartial y = ddy arcsen(3x + y) = 1raiz1 - (3x + y)^2 :
Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial r = 2r e^s e partial xpartial s = r^2 e^s em relação a partial ypartial r = cos(r s) cdot s e partial ypartial s = cos(r s) cdot r :
partial upartial r = 3raiz1 - (3x + y)^2 cdot 2r e^s + 1raiz1 - (3x + y)^2 cdot s cos(r s)
partial upartial s = 3raiz1 - (3x + y)^2 cdot r^2 e^s + 1raiz1 - (3x + y)^2 cdot r cos(r s)
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia, temos:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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