Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron se move em uma órbita circular de raio 0,529 times 10^-10 m em torno de um próton. (b) Se essa força causa a aceleração centrípeta do elétron, qual será sua velocidade de rotação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio. A pergunta quer saber qual é a velocidade de rotação do elétron que está se movendo em uma órbita circular ao redor do próton, com um raio de 0,529 times 10^-10 m. Para isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e força eletrostática.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a força que mantém o elétron na órbita é a força eletrostática de atração entre o próton e o elétron. Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular do elétron. A força eletrostática é dada por:
Fe = e^24pi varepsilon0 r^2
onde:
  • e é a carga do elétron ( 1,602 times 10^-19 C),
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,854 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)),
  • r é o raio da órbita.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular é dada por:
Fc = m v^2r
onde:
  • m é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 kg),
  • v é a velocidade do elétron,
  • r é o raio da órbita.

Passo 4

Como a força eletrostática está fornecendo a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
e^24pi varepsilon0 r^2 = m v^2r

Passo 5

Agora, vamos resolver para v. Primeiro, simplificamos a equação:
v^2 = e^24pi varepsilon0 m r
Então, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
v = raize^24pi varepsilon0 m r

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
v = raiz(1,602 times 10^-19 C)^24pi (8,854 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)) (9,109 times 10^-31 kg) (0,529 times 10^-10 m)

Passo 7

Calculando os valores dentro da raiz:
v = raiz(2,566 times 10^-38 C^2)4pi (8,854 times 10^-12) (9,109 times 10^-31) (0,529 times 10^-10)

Passo 8

Fazendo as contas:
v = raiz2,566 times 10^-384pi times 8,854 times 10^-12 times 9,109 times 10^-31 times 0,529 times 10^-10
v approx raiz2,566 times 10^-385,368 times 10^-52 approx raiz4,777 times 10^13 approx 6,91 times 10^6 m/s

Resposta

A velocidade de rotação do elétron é aproximadamente 6,91 times 10^6 m/s.

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