Um elétron com uma energia cinética de 22,5 eV penetra em uma região onde existe um campo magnético de módulo 4,55 times 10^-4 T. O ângulo entre a direção de e a direção da velocidade do elétron é 65,5^circ. Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron com energia cinética de entrando em uma região com um campo magnético de . O ângulo entre a direção do campo magnético e a velocidade do elétron é de . A pergunta é: qual é o passo da trajetória helicoidal desse elétron?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de partículas carregadas em campos magnéticos, especificamente como elas se movem em trajetórias helicoidais quando a velocidade não é perpendicular ao campo. Vamos calcular a velocidade do elétron a partir da energia cinética, decompor essa velocidade nas componentes paralela e perpendicular ao campo, e então determinar o passo da hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do elétron a partir da sua energia cinética. A energia cinética ( Ek = 12 m v^2 ) está relacionada à massa ( v = raiz2 Ekm ) e à velocidade ( 1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J ) pela fórmula:
Ek = 22,5 , eV times 1,602 times 10^-19 , JeV = 3,6045 times 10^-18 , J
Queremos encontrar v = raiz2 times 3,6045 times 10^-18 , J9,109 times 10^-31 , kg approx raiz7,209 times 10^-189,109 times 10^-31 approx raiz7,923 times 10^12 approx 8,897 times 10^6 , m/s , então rearranjamos a fórmula:
Precisamos converter a energia cinética de elétron-volts (eV) para joules (J), pois as unidades do Sistema Internacional são necessárias para os cálculos:
Portanto,
A massa do elétron ( ) é aproximadamente . Substituindo na fórmula da velocidade:

Passo 3

Agora, vamos decompor a velocidade do elétron em duas componentes: uma paralela ( vperp = v cdot sin(theta) = 8,897 times 10^6 , m/s times sin(65,5^circ) approx 8,897 times 10^6 times 0,907 approx 8,07 times 10^6 , m/s ) e outra perpendicular ( vparal<=l = v cdot cos(theta) = 8,897 times 10^6 , m/s times cos(65,5^circ) approx 8,897 times 10^6 times 0,424 approx 3,77 times 10^6 , m/s ) ao campo magnético. O ângulo entre a velocidade e o campo é . Usamos funções trigonométricas para isso:

Passo 4

A componente da velocidade perpendicular ao campo magnético faz com que o elétron execute um movimento circular. A frequência desse movimento é chamada de frequência ciclotrônica ( f = q B2 pi m ) e pode ser calculada pela fórmula:
f = 1,602 times 10^-19 , C times 4,55 times 10^-4 , T2 pi times 9,109 times 10^-31 , kg approx 7,289 times 10^-235,727 times 10^-30 approx 1,272 times 10^7 , Hz
Onde:
  • é a carga do elétron ( )
  • é a intensidade do campo magnético ( )
  • é a massa do elétron ( )
Substituindo na fórmula:

Passo 5

O período ( T = 1f = 11,272 times 10^7 , Hz approx 7,86 times 10^-8 , s ) do movimento circular é o inverso da frequência:
h = vparal<=l times T = 3,77 times 10^6 , m/s times 7,86 times 10^-8 , s approx 0,296 , m
Durante cada período , o elétron avança uma distância na direção do campo magnético, que é exatamente o passo ( ) da trajetória helicoidal. Essa distância é dada por:

Resposta

O passo da trajetória helicoidal do elétron é aproximadamente 0,296 metros.

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