A água se move a uma velocidade de 3,0 m / s em um cano com uma seção reta de 5,0 cm^2. A água desce gradualmente 7 m enquanto a seção reta aumenta para 10,0 cm^2. (b) Se a pressão antes da descida é 1,1 times 10^5 Pa, qual é a pressão depois da descida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cano por onde a água está fluindo com uma certa velocidade e área de seção reta. A água desce 7 metros e, nessa descida, a área do cano aumenta. Queremos descobrir qual é a pressão da água depois dessa descida, sabendo que antes da descida a pressão é de .
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos importantes da física dos fluidos:
  1. Equação da Continuidade: nos ajuda a relacionar a velocidade e a área da seção do fluido em dois pontos diferentes.
  2. Equação de Bernoulli: relaciona a velocidade, a altura e a pressão em dois pontos ao longo de uma linha de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Equação da Continuidade para encontrar a nova velocidade da água após a descida.
A equação da continuidade é dada por:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • 5,0 , cm^2 = 5,0 times 10^-4 , m^2 e 10,0 , cm^2 = 10,0 times 10^-4 , m^2 são as áreas das seções nos pontos 1 e 2, respectivamente.
  • 5,0 times 10^-4 , m^2 times 3,0 , m/s = 10,0 times 10^-4 , m^2 times v2 e v2 = 5,0 times 10^-4 times 3,010,0 times 10^-4 = 15,0 times 10^-410,0 times 10^-4 = 1,5 , m/s são as velocidades da água nesses pontos.
Vamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:
Agora, aplicando a equação da continuidade:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos a nova velocidade da água ( P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2 ), vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a nova pressão.
A equação de Bernoulli é:
1,1 times 10^5 + 12 times 1000 times (3,0)^2 + 1000 times 9,81 times 0 = P2 + 12 times 1000 times (1,5)^2 + 1000 times 9,81 times (-7)
Onde:
  • 1,1 times 10^5 + 4500 = P2 + 1125 - 68670 é a pressão,
  • 1,145 times 10^5 = P2 - 67545 é a densidade da água ( P2 = 1,145 times 10^5 + 67545 = 182045 , Pa ),
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Como a água desce, . Se considerarmos como referência, então .
Substituindo os valores na equação de Bernoulli:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo de novo:

Resposta

A pressão após a descida é de aproximadamente .

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